Dubbio sui sottospazi vettoriali

[The-Cleaner]

Ciao a tutti, posto in merito ad un dubbio su un esercizio:

"Sia V un sottospazio vettoriale di dimensione 3 in \( \Bbb{R}^5\) . Qual'è la dimensione del più piccolo sottospazio vettoriale in \( \Bbb{R}^5\) contenente \( \Bbb{R}^5\) \ V?"

Per risolverlo ho ipotizzato come generatori di \( \Bbb{R}^5\) le basi canoniche, e V = < (1,1,0,1,0), (0,0,0,0,1), (0,0,1,0,0) >. Ho pensato che siccome V deve contenere minimo uno e massimo due basi canoniche nei generatori, il risultato dell'esercizio sia dunque Dim(\( \Bbb{R}^5\)) = 3 (minima dimensione per contenere \( \Bbb{R}^5\) \ V)

E' la prima volta che incontro un esercizio del genere, volevo sapere se il ragionamento fosse corretto.

[gugo82]

Lascia stare $RR^5$ e ragiona in $RR^2$ (piano) o in $RR^3$ (spazio).

Se ti assegno un sottospazio $V$ di dimensione $1$ in $RR^2$ o $RR^3$ (cioè una retta), qual è il più piccolo (a livello dimensionale) sottospazio che contiene $RR^2\setminus V$ o $RR^3\setminus V$?
Come lo dimostri?

E se ti assegno un sottospazio di dimensione $2$ in $RR^3$ la risposta cambia?
Perché?

Dunque, cosa accade nel caso di $RR^5$?
Riesci a dimostrarlo?

[The-Cleaner]

"gugo82":Lascia stare $RR^5$ e ragiona in $RR^2$ (piano) o in $RR^3$ (spazio).

Se ti assegno un sottospazio $V$ di dimensione $1$ in $RR^2$ o $RR^3$ (cioè una retta), qual è il più piccolo (a livello dimensionale) sottospazio che contiene $RR^2\setminus V$ o $RR^3\setminus V$?

Non so dimostrarlo, ma messo giù così sembra (dall'esempio che mi hai dato), che mi viene chiesta la dimensione di $RR^2\setminus V $ sapendo che $ V $ è un sottospazio di dimensione $ 1 $, quindi il sottospazio che deve contenere tutti i piani (escluse le rette) deve avere dimensione $ 2 $, stesso ragionamento in $ RR^3 $ e $ RR^5 $.

[gugo82]

Fai un disegno:
[asvg]axes();
strokewidth = 2; line([6,3],[-6,-3]);[/asvg]
$RR^2\setminus V$ è costituito dall’unione dei due semipiani aperti in cui la retta $V$ divide $RR^2$.
Quanti vettori indipendenti contiene tale insieme? Come fai a dimostrarlo?
Ti conviene ridurti al caso in cui $V$ coincide con uno degli assi, ad esempio a questo caso qui:
[asvg]axes();
strokewidth = 2; line([6,0],[-6,0]);[/asvg]
che si ottiene scegliendo come base di $RR^2$ una delle possibili basi che si ricavano completando ad una base l’insieme costituito dal vettore direzionale $mathbf(v)$ della retta $V$.

Quindi, qual è la dimensione del più piccolo sottospazio che contiene $RR^2\setminus V$?