Dubbio sui sottospazi vettoriali

[Daken97]

Dunque, parlando degli spazi vettoriali Rn , sappiamo benissimo che un insieme di vettori è un sistema di generatori di Rn se qualunque vettore dI tale spazio può essere scritto come combinazione lineare dei vettori dell'insieme dato. Ma la stessa definizione vale anche per i sistemi di generatori dei SOTTOSPAZI di Rn? Secondo me no... se ad esempio prendessi una base di un sottospazio di dimensione 2 di R4 e aggiungessi all'insieme un vettore che non appartiene a tale sottospazio, sicuramente sarei in grado di ottenere tutti i vettori di esso con opportune combinazioni lineari ("annullando" sempre il vettore "intruso" moltiplicandolo per zero), il punto è che ci sarebbero dei vettori dello span che non appartengono a quel sottospazio.


Ergo, l'insieme di generatori di un sottospazio vettoriale non può contenere vettori che non fanno parte di tale sottospazio?

[dissonance]

Certo che non può. L'insieme di generatori di qualsiasi spazio vettoriale, sia esso un sottospazio di \(\mathbb R^n\) o qualsiasi altra cosa, è per prima cosa un sottoinsieme di tale spazio.

[Daken97]

"dissonance":Certo che non può. L'insieme di generatori di qualsiasi spazio vettoriale è per prima cosa un sottoinsieme di tale spazio.

Sì, diciamo che quando si da la definizione di sistema di generatori di Rn, spesso lo si fa in maniera approssimativa,visto che per forza di cose abbiamo sempre a che fare con sottoinsiemi di esso.

[dissonance]

Perché "in maniera approssimativa"? E perché "per forza di cose abbiamo a che fare con sottoinsiemi di \(\mathbb R^n\)"? Non sono d'accordo con nessuna di queste due affermazioni.

Se hai voglia, scrivi qui la definizione di "sistema di generatori" dello spazio vettoriale $V$, per favore, secondo me è un piccolo esercizio che ti servirà. Sono due righe scarse.

[Daken97]

"dissonance":Perché "in maniera approssimativa"? E perché "per forza di cose abbiamo a che fare con sottoinsiemi di \(\mathbb R^n\)"? Non sono d'accordo con nessuna di queste due affermazioni.

Se hai voglia, scrivi qui la definizione di "sistema di generatori" dello spazio vettoriale $V$, per favore, secondo me è un piccolo esercizio che ti servirà. Sono due righe scarse.

Per me un sistema di generatori di uno spazio vettoriale è un insieme il cui span contiene al proprio interno tutti i vettori di tale spazio.


Spesso si definisce come "un insieme che permette di ricostruire qualunque vettore di tale spazio tramite opportune combinazioni lineari"... questa definizione per me è valida per Rn, ma ambigua per i suoi sottospazi, e il motivo l'ho specificato sopra. Se poi precisassimo ciò che hai scritto (ovvero che il sistema di generatori deve essere un sottoinsieme di tale spazio), allora anche su quest'ultima non ci sarebbe più nulla da dire. Diciamo che non tutti i testi e le fonti danno una definizione così precisa.

[Magma1]

Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato, si considerino i vettori $v_1, …, v_s in V$ e gli scalari $alpha_1,...,alpha_s in RR$; se

$(v=alpha_1v_1+...+alpha_s v_s, qquad AA v in V) rArr V=mathcalL{v_1,...,v_s}$

La definizione di generatore richiede che essi appartengono al sottospazio che generano.

[ot]Fino a prova contraria, questa è la definizione di generatori di mia conoscenza. [/ot]

[Daken97]

"Magma":Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato, si considerino i vettori $v_1, …, v_s in V$ e gli scalari $alpha_1,...,alpha_s in RR$; se

$(v=alpha_1v_1+...+alpha_s v_s, qquad AA v in V) rArr V=mathcalL{v_1,...,v_s}$

La definizione di generatore richiede che essi appartengono al sottospazio che generano.

[ot]Fino a prova contraria, questa è la definizione di generatori di mia conoscenza. [/ot]

Sì, in matematichese è la definizione che ho dato io. Il fatto è che non tutte le fonti e i testi sono così precisi, altrimenti quel dubbio non avrebbe avuto il senso di esistere.

[anto_zoolander]

Uno Span di vettori contiene tutte le combinazioni lineari di quei vettori: niente di più, niente di meno.
Quello che dici tu significa semplicemente che se aggiungi un vettore, il nuovo span contiene quello di prima

[Magma1]

Ciao Anto

"anto_zoolander":Quello che dici tu significa semplicemente che se aggiungi un vettore, il nuovo span contiene quello di prima

Da quel che ho capito, mi sembra che lui intenda dire ciò:

considerando un sottospazio vettoriale

$W=mathcalL{w_1,...,w_r}subeV, qquad \text{con} dim(W)
si può prendere un $v in V : qquad v notin W$ e ottenere che $W=mathcalL{w_1,...,w_r, v}$ in quanto $alpha_iw_i+0 cdot v=0$.

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[Daken97]

"anto_zoolander":Uno Span di vettori contiene tutte le combinazioni lineari di quei vettori: niente di più, niente di meno.
Quello che dici tu significa semplicemente che se aggiungi un vettore, il nuovo span contiene quello di prima

Ovvio, però non potrei certo dire che il nuovo insieme di vettori sia un insieme di generatori dello spazio considerato in precedenza... ciò sarebbe valido solo se il vettore aggiunto si potesse scrivere come una combinazione lineare degli altri.


In ogni caso, la questione è ampiamente risolta, visto che peraltro abbiamo proposto tutte le possibili definizioni corrette.

[axpgn]

Scusa magma, una domanda: tu hai solo "tradotto" le sue intenzioni, giusto? Perché non è vero che i due $W$ (prima e dopo l'aggiunta) siano uguali.

[Daken97]

"axpgn":Scusa magma, una domanda: tu hai solo "tradotto" le sue intenzioni, giusto? Perché non è vero che i due $W$ (prima e dopo l'aggiunta) siano uguali.

Sì sì, il suo intento era quello... difatti ho specificato che ciò in realtà è vero solo in una circostanza. Il dubbio primario sussisteva sulla definizione corretta di "sistemi di generatori", mentre quest'ultima mi è sempre stata chiara. La correttezza formale delle definizioni è una delle mie più grandi battaglie personali.

[Magma1]

"axpgn":Scusa magma, una domanda: tu hai solo "tradotto" le sue intenzioni, giusto?

Pensavo fosse evidente

[axpgn]

Eh, ma è meglio precisare, fidati

"Daken97":… difatti ho specificato che ciò in realtà è vero solo in una circostanza. ...

No, non è vero mai ... il "secondo" $W$ scritto da Magma non è uno span ...

[Daken97]

"axpgn":


No, non è vero mai ... il "secondo" $W$ scritto da Magma non è uno span ...

Io intendo questo... se ho v1 e v2 linearmente indipendenti, Span(v1,v2)=Span(v1,v2,v3) se e solo se v3 può essere scritto come combinazione lineare degli altri 2 vettori.

[axpgn]

Questo è vero ma non è quello che ha "riassunto" Magma del tuo pensiero e che tu hai asserito essere vero; quindi dovresti prima metterti d'accordo con te stesso

[Daken97]

"axpgn":Questo è vero ma non è quello che ha "riassunto" Magma del tuo pensiero e che tu hai asserito essere vero; quindi dovresti prima metterti d'accordo con te stesso

Aspetta, c'è troppa confusione.

Io non in realtà non ho mai pensato l'affermazione di Magma sia vera, tuttavia la sua "lettura" deriva da una considerazione che ho fatto sulla definizione di sistemi di generatori quando ho aperto il thread (se leggi il post iniziale capisci a cosa mi riferisco). Diciamo che il suo intento era evidente, seppur fallace. In ogni caso, il dubbio iniziale è stato subito fugato.


Tra parentesi, lungi da me credere che $alpha_iw_i+0 cdot v=0$ in ogni caso. Semplicemente volevo sapere se per definizione il sistema di generatore doveva essere un sottoinsieme dello spazio considerato.

[axpgn]

Un sistema di generatori è per forza un sottoinsieme dello spazio generato.
Se proprio vuoi provarlo basta vedere che $0*w_1+0*w_2+...+1*w_i+...+0*w_n=w_i$

[Daken97]

"axpgn":Un sistema di generatori è per forza un sottoinsieme dello spazio generato.
Se proprio vuoi provarlo basta vedere che $0*w_1+0*w_2+...+1*w_i+...+0*w_n=w_i$

Ovvio, ma per capirlo serve la definizione giusta, altrimenti questo thread (per me risolto) non sarebbe mai nato per quanto è banale la questione.

Se guardi il mio primo post capisci da cosa derivava la mia iniziale perplessità.

[axpgn]

A mio parere non c'entra la definizione "giusta" ma una "non buona" comprensione della stessa (il thread l'ho riletto e mi conferma questa opinione)

[anto_zoolander]

Anche perché tutte le definizioni di una stessa cosa devono essere tra loro equivalenti.
Da quì passo al ribadire quanto detto da Alex