Dubbio su rappresentazione cartesiana

[Shadownet614]

salve , il primo tentativo di dare questo maledetto esame è andato maluccio (19 rifiutato , ho una media di 25 con gli altri esami) dunque volevo farmi controllare questo esercizio poichè una rappresentazione cartesiana mi viene t=0:

U={f(x,y,z,t) € R^4 : 3x+y-z=o; y+t=0}
W={f(x,y,z,t)€ R^4 : x-z-t=0, x+z+t=0}
a)determinare la dimensione e la base di U+W
b)determinare una rappresentazione cartesiana di U+W
c) stabilire per quali valori del parametro reale h il vettore (0,1,1,h) appartiene a U intersecato W.

Bene ho messo a sistema e ho ricavato le basi di U e W, rispettivamente ( 1,0,3,0),(0,-1,-1,1) per quanto riguarda U e (0,1,0,0)(0,0,1,-1) per W.
Quindi U+W
$dubbio | ( 1 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) | $
dim (U+W)=3
B(u+w)=(1,0,3,0),(0,-1,-1,0),(0,1,0,0)
Per la rappresentazione ho fatto:
$ | ( x , y , z , t ),( 1 , 0 , 3 ,0 ),( 0 , -1 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) | $
e mi viene t=0, il mio dubbio è se è possibile ? :/
Per il punto 3 non so come procedere, nel senso so trovarmi base e dimensione di U intersecato W ( in questo caso se volessi la dimensione viene 0 quindi non dovrebbe avere base esatto?) ma per verificare se il vettore appartiene a UintersecatoW come debbo fare? Grazie mille a chi mi aiuterà. ( il vettore so verificarlo per i vari U,W ma se dovessi poi fare per la somma anche U+W? metto nella matrice assieme alle basi di U+W?)

[stenford]

ok innanzitutto sai che hanno uno stesso punto di applicazione , ovvero l'origine.
Le basi da te trovate sono giuste anche se nella rappresentazione cartesiana, nel determinante devi porre la terza riga come $(0 ,-1, -1, 1)$ che è il vettore da te trovato.
Facendo così ottieni l'iperpiano $B: z+t=3x$
[p.s. t=0 è un iperpiano quindi se fosse uscito tramite calcoli esatti... si è possibile]
Per il punto 3 utilizzando grassman sai che la dimensione dell'intersezione è
$ dim(U^^W)=dim(U)+dim(W)-dim(U+W)=2+2-3=1 $
Quindi ti basta trovare un vettore.
Per fare ciò calcoli il rango di :
$ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 3 , 1 ),(-1 , 0 , h ) ) $
ed imponi sia 2 utilizzando il metodo delle orlate

ti ricavi h e verifichi che con tale parametro il rango di $[(0 ,1, 1, h),(0, 0, -1, 1), (0, 1, 0, 0)]$
sia 2

[Shadownet614]

inanzitutto grazie x la risposta. Solo 2 cose non mi sono chiare: perchè z+t=3x e non z+t+3x=0 io uso laplace e mi trovo 1 $ | ( y , z , t ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) | $ + 3 $ | ( y , z , t ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) | $ e perchè metti in colonna anzichè riga per trovare il vettore di U intersecato W ? Non mi trovo col vettore che tu metti in prima colonna in quanto non so quale sia :/ ho diff a trovare h . In genere mi capitava di trovarlo sempre in matrici 3x3 qui siccome il rango è 2 come faccio ? cioè come trovo h? scusa x le domande

[stenford]

"Birkhoff92":inanzitutto grazie x la risposta. Solo 2 cose non mi sono chiare: perchè z+t=3x e non z+t+3x=0 io uso laplace e mi trovo 1 $ | ( y , z , t ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) | $ + 3 $ | ( y , z , t ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) | $ e perchè metti in colonna anzichè riga per trovare il vettore di U intersecato W ? Non mi trovo col vettore che tu metti in prima colonna in quanto non so quale sia :/ ho diff a trovare h . In genere mi capitava di trovarlo sempre in matrici 3x3 qui siccome il rango è 2 come faccio ? cioè come trovo h? scusa x le domande

Il rango di una matrice è il massimo numero di vettori colonna l.i. che è uguale al numero massimo di vettori l.i. di vettori riga, non cambia. Io avevo fatto i calcoli incolonnandoli, comunque per l'intersezione puoi farli anche a riga. Per il vettore
$[(0),(1),(1),(-1)]=-1*[(0),(-1),(-1),(1)]$, avevo cambiato a meno di una costante nei miei calcoli, ma la solfa non cambia entrambi sono vettori di quella base in quanto la lineare dipendenza viene lasciata.
Per trovare h parti dall'ultima riga puoi utilizzare il metodo delle orlate(teorema di kronecker) ossia(prendi sempre la mia matrice in colonne):
il blocco $2x2$ in alto a sinistra : $ [ ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ] $ ha determinante non nullo. Noi vogliamo che il rango sia due quindi per il teorema ogni orlata dovrà avere determinante nullo, quindi:
$ | ( 0 , 1,0 ),( 1 , 0,1 ),(1,3,1) |=0 $ vero
$ | ( 0 , 1,0 ),( 1 , 0,1 ),(-1,0,h) |=0 hArr h=-1$
Per l'equazione usando laplace hai utlizzando la matrice corretta:
$[ ( x ,y , z , t ),(1 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) ]$
quindi con laplace ho:
$-1|(y,z,t),(-1,-1,1),(1,0,0)| -3*|(x,y,t),(0,-1,1),(0,1,0)|=0$
io ho usato laplace sull'ultima riga venendomi l'equazione $z+t=3x$ comunque un'uguale rappresentazione cartesiana è $z+t+3x=0$ come hai fatto te. Sono entrambi iperpiani con punto di applicazione $[(0),(0),(0),(0)]$ e se vai a controllare hanno le stesse direzioni.

[Shadownet614]

ok grazie mille
ps: quando dici che $ | ( 0 , 1 , 1 , h ),( 0 , 0 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) | $ deve essere =2 come faccio se mi trovo già che il rango è uno visto che
01
00 è uguale a 0 quindi rango per forza 1??

[stenford]

leggiti il teorema di kronecker , sennò non capisci cosa intendo con metodo delle orlate
il rango è almeno due in quanto la seconda e terza riga sono l.i.
il blocco $|| ( 0, -1 ),(1 , 0 ) || ha det diverso da zero