Dubbio su esercizio di algebra lineare

[kekko989]

Data $varphi:R^4->R^3$ e data la matrice $alpha_(epsilon,epsilon)((0,-1,2,1),(1,0,1,1),(2,1,0,1))$ trovare due matrici PQ tali che $PAQ=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0))$

Volevo chiedervi se il procedimento che uso (sempre se è giusto) può essere "standard" per questo tipo di esercizio..
Allora,considero i vettori $u_1=((0),(1),(2))$ $u_2=((-1),(0),(1))$ $u_3=((2),(1),(0))$ $u_4=((1),(1),(1))$. Questi vettori sono naturalmente dipendenti, e sono solo due quelli linearmente indipendenti. Quindi $imvarphi=2$ e posso trovare una base del nucleo dell'applicazione. Ovvero $kervarphi<((1),(-2),(1),0)),,((1),(-1),(0),(-1))>$. Ora,considero le due basi del nucleo e le completo con una base di $R^4$ (per convenzione quella canonica) quindi $v_1=((1),(0),(0),(0))$ $v_2=((0),(1),(0),(0))$ $v_3=((1),(-2),(-1),(0))$ ed infine $v_4=((1),(-1),(0),(-1))$.
Ora,prendo i vettori della base e li mando nello spazio d'arrivo..
Quindi $varphi(v_1)=((0),(1),(2))=w_1$ $varphi(v_2)=((-1),(0),(1))=w_2$ e $varphi(v_3)=((0),(0),(1))=w_3$. Ora,posso scrivere la matrice $alpha_(v,w)=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0))$. Che è quella che cercavo,dove i due ultimi vettori sono zero,poichè base del nucleo. Ora,per trovare PQ, naturalmente P deve moltiplicare A(e quindi avere 3 colonne) e A deve moltiplicare Q, quindi Q deve avere quattro righe.
L'unica possibilità è che siano matrici del tipo $P=alpha_(epsilon,w)$ e $Q=alpha_(v,epsilon)$. L'ultima naturalmente la posso trovare, ed è la matrice che ha per colonne $$. P invece, è l'inversa della matrice $alpha_(w,epsilon)$ ovvero quella dei vettori delle immagini della $varphi$ Quindi $P^(-1)=alpha_(w,epsilon)((0,-1,0),(1,0,0),(2,1,1))$. Poi per calcolarmi l'inversa uso la tecnica di riduzione di Gauss. Ecco,volevo sapere se questo procedimento andasse bene e se posso utilizzarlo sempre,quando ho un esercizio del genere(o se ci sono metodi alternativi più veloci). Grazie mille.

[kekko989]

nessuna buona anima??