Dubbio su algebra lineare
Salve, avrei un pesantissimo dubbio circa un esercizio svolto (sul web) che riguarda il concetto di sistema di generatori. In fondo al post ho linkato il sito, tuttavia devo spiegare il punto su cui non riesco a convergere.
Dunque, non capisco perchè i 3 vettori indicati nell'esercizio (in fondo alla pagina che ho postato) fanno ad essere parte di un sistema di generatore per il sottospazio ottenuto, visto che non è possibile ottenere le basi (nella fattispecie (-1/2,1,0) e (2,0,1), che soddisfano il sistema ottenuto) mediante combinazione lineare di quei vettori. Io so che per essere un sistema d generatori, deve essere in grado di generare qualunque vettore che soddisfa il sistema in questione, e a quanto pare non è questo il caso.
Comunque il link in questione è il seguente, e dovete controllare l'esercizio finale.... https://www.****.it/lezioni/algebra- ... atori.html
Dunque, non capisco perchè i 3 vettori indicati nell'esercizio (in fondo alla pagina che ho postato) fanno ad essere parte di un sistema di generatore per il sottospazio ottenuto, visto che non è possibile ottenere le basi (nella fattispecie (-1/2,1,0) e (2,0,1), che soddisfano il sistema ottenuto) mediante combinazione lineare di quei vettori. Io so che per essere un sistema d generatori, deve essere in grado di generare qualunque vettore che soddisfa il sistema in questione, e a quanto pare non è questo il caso.
Comunque il link in questione è il seguente, e dovete controllare l'esercizio finale.... https://www.****.it/lezioni/algebra- ... atori.html
Risposte
Draken non c'è bisogno di citare l'intera conversazione.
Per rispondere basta cliccare sul tasto in basso a sinistra con scritto 'rispondi' e se volessi rivolgerti a qualcuno di specifico usare il 'classico' @nome
cita solo 'il pezzo' del discorso che ti serve, quando ti serve, non tutto: si crea confusione.
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cita solo 'il pezzo' del discorso che ti serve, quando ti serve, non tutto: si crea confusione.
"anto_zoolander":
Draken non c'è bisogno di citare l'intera conversazione.
Per rispondere basta cliccare sul tasto in basso a sinistra con scritto 'rispondi' e se volessi rivolgerti a qualcuno di specifico usare il 'classico' @nome
cita solo 'il pezzo' del discorso che ti serve, quando ti serve, non tutto: si crea confusione.
Ok... comunque tornando a noi, ciò che è scritto su quella pagina (e in particolare nel link) è errato?
"Daken97":
ad esempio l'insieme ${ ((1),(0)), ((0),(2)),((6),(6))}$ di $RR^2$ è un sistema di generatori per quello spazio, ma non una base, perchè il terzo vettore dipende linearmente dai primo e dal secondo.
"Daken97":
Per quell'esempio ho preso spunto da loro, visto che sostenevano che quell'insieme fosse un sistema di
generatori, poi ho verificato che in realtà non è così
Sono curioso della "verifica" potresti postarla?
Dipende da quello che intende Bokonon, comunque su **** non scrivono fesserie.
Un sistema di generatori può tranquillamente essere linearmente dipendente!
L'unica cosa che si chiede di fare ad un sistema di generatori è che le combinazioni lineari di questi benedetti vettori saturino tutto lo spazio. Che poi siano: il minimo necessario o 17 miliardi, non fa differenza.
Un sistema di generatori può tranquillamente essere linearmente dipendente!
L'unica cosa che si chiede di fare ad un sistema di generatori è che le combinazioni lineari di questi benedetti vettori saturino tutto lo spazio. Che poi siano: il minimo necessario o 17 miliardi, non fa differenza.
"anto_zoolander":
Un sistema di generatori può tranquillamente essere linearmente dipendente!
L'unica cosa che si chiede di fare ad un sistema di generatori è che le combinazioni lineari di questi benedetti vettori saturino tutto lo spazio. Che poi siano: il minimo necessario o 17 miliardi, non fa differenza.
A me pare una definizione totalmnete inutile. E' equivalente a prendere una base di $R^2$ e creare altri 17 miliardi - 2 vettori e poi cercare la combinazione lineare di questi 17 miliardi di vettori per dimostrare che creano il 17 miliardesimo + 1 vettore.
Se tanto mi da tanto, allora un generatore si definisce come combinazione lineare di una base dello spazio di appartenenza...non è insulsa come definizione?
Io davvero vorrei vedere uno all'esame scrivere una soluzione di un sistema di equazioni differenziali lunga 24 pagine perchè gli tirava mettere dentro tutta una serie di combinazioni lineari superflue...e poi vedere la faccia del prof. LOL
Magari è anche divertente
E' grazie a questa definizione inutile che si dimostra, senza assiomi particolari, che ogni spazio finitamente generato ammetta una base: quindi tanto inutile non mi pare.
Infatti poi si definisce anche quello che si chiama: sistema minimale di generatori
Infatti poi si definisce anche quello che si chiama: sistema minimale di generatori
"Bokonon":
L'esempio che hai portato non aveva senso. Se ti danno 3 vettori di R2 al minimo uno sarà combinazione lineare di altri 2. Quindi troverai o una base di tutto R2, oppure una base per un sottospazio di R2 di dimensione 1 (ovvero una retta). Non ci sono altre possibilità. Non esistono generatori "linearmente dipendenti".
Ripeto, se ti danno tre vettori di R2 non saranno MAI linearmente indipendenti fra di loro e non sono "generatori" di un bel nulla. Secondo me non ti è chiaro il concetto di "generatore".
prendi l'insieme $S={(0,2)^T,(2,2)^T,(1,0)^T}$. questo, benchè l'utente da me citato, sono un sistema di generatori proprio per $RR^2$: preso infatti un qualunque $v=(x,y)^T in RR^2$ può essere ottenuto come combinazione lineare dei tre vettori di S. esistono cioè $a,b,c in RR$ tali che
$(x,y)=a(0,2)+b(2,2)+c(1,0)$. prova per esempio con $(x,y)=(5,1)$.
"Bokonon":
Ok, Magma adesso adesso ci illustra il concetto di insieme di generatori dipendenti.
scusate se intervengo. volevo solo mostrare esplicitamente che esistono sistemi di generatori dipendenti (come giustamente osservato anche da @anto e @magma) con un esempio.
[ot]@bokonon: in non sarei così categorico quando intervieni. anche solo per evitare di confondere chi apre gli argomenti con concetti che poi possono rivelarsi errati[/ot]
"Magma":
[quote="Daken97"]ad esempio l'insieme ${ ((1),(0)), ((0),(2)),((6),(6))}$ di $RR^2$ è un sistema di generatori per quello spazio, ma non una base, perchè il terzo vettore dipende linearmente dai primo e dal secondo.
"Daken97":
Per quell'esempio ho preso spunto da loro, visto che sostenevano che quell'insieme fosse un sistema di
generatori, poi ho verificato che in realtà non è così
Sono curioso della "verifica" potresti postarla?[/quote]
Ho eseguito nuovamente la verifica, e a dire la verità risulta essere un sistema di generatori, al contrario di quello che sosteneva Bokonon e (successivamente) io. Detto questo,come giustamente ha scritto Anto, se ci basassimo sulla definizione di sistema di generatori,tali insieme lo è rispetto a R2.Infatti mi sembrava stranissimo che ci fosse scritta una fesseria su ****.
"Daken97":
Ho eseguito nuovamente la verifica, e a dire la verità risulta essere un sistema di generatori, al contrario di quello che sosteneva Bokonon e (successivamente) io.
Mi serve una trottola...
"anto_zoolander":
E' grazie a questa definizione inutile che si dimostra, senza assiomi particolari, che ogni spazio finitamente generato ammetta una base: quindi tanto inutile non mi pare.
Infatti poi si definisce anche quello che si chiama: sistema minimale di generatori
Ok, prendo atto.
Però non capisco da dove provenga questa definizione e/o se sia una cosa italiana.
Tu che ne sai, nella toria dei gruppi:
An interesting companion topic is that of non-generators. An element x of the group G is a non-generator if every set S containing x that generates G, still generates G when x is removed from S.
"Bokonon":
Però non capisco da dove provenga questa definizione e/o se sia una cosa italiana.
Scusami, ma se anche fosse una definizione aliena, quale sarebbe il problema?
@Draken
quello di cui parla Bokonon, e di cui si renderà conto tra una decina di messaggi, è che esiste un teorema molto importante che prende il nome di: teorema di caratterizzazione delle basi.
Questo teorema fa più o meno capire in che relazione debbano stare generatori e vettori linearmente indipendenti per formare una base. In particolare si introduce il seguente concetto:
sia $V$ un $K-$spazio vettoriale $S={v_1,...,v_n}$ un sistema di generatori di $V$.
Diremo che $S$ è un sistema minimale di generatori se ogni volta che togli un vettore da $S$, il sistema non genera più lo spazio. In formule:
qual è il senso di questa definizione? viene in maniera naturale dalla domanda che ci si può porre con un po' di buon senso: ma esiste un numero minimo necessario di vettori per generarmi uno spazio?
magari ai tempi si chiedevano "ma $RR^2$ può essere generato da $1$ vettore? Oppure c'è un numero minimo da rispettare?" In effetti questa domanda trova risposta, ed è la seguente:
potendo dimostrare che tutte le basi di $V$ hanno lo stesso numero di vettori, si può affermare che questo numero minimo esiste ed è il numero di vettori necessario a formare una base.
NB: dimostrazione del fatto precedente sotto spoiler
quello di cui parla Bokonon, e di cui si renderà conto tra una decina di messaggi, è che esiste un teorema molto importante che prende il nome di: teorema di caratterizzazione delle basi.
Questo teorema fa più o meno capire in che relazione debbano stare generatori e vettori linearmente indipendenti per formare una base. In particolare si introduce il seguente concetto:
sia $V$ un $K-$spazio vettoriale $S={v_1,...,v_n}$ un sistema di generatori di $V$.
Diremo che $S$ è un sistema minimale di generatori se ogni volta che togli un vettore da $S$, il sistema non genera più lo spazio. In formule:
$S$ minimale se $forallv in S( <> subset V)$
qual è il senso di questa definizione? viene in maniera naturale dalla domanda che ci si può porre con un po' di buon senso: ma esiste un numero minimo necessario di vettori per generarmi uno spazio?
magari ai tempi si chiedevano "ma $RR^2$ può essere generato da $1$ vettore? Oppure c'è un numero minimo da rispettare?" In effetti questa domanda trova risposta, ed è la seguente:
$S$ è minimale se e solo se $S$ è una base di $V$
potendo dimostrare che tutte le basi di $V$ hanno lo stesso numero di vettori, si può affermare che questo numero minimo esiste ed è il numero di vettori necessario a formare una base.
NB: dimostrazione del fatto precedente sotto spoiler
"anto_zoolander":
@Draken
magari ai tempi si chiedevano "ma $RR^2$ può essere generato da $1$ vettore? Oppure c'è un numero minimo da rispettare?" In effetti questa domanda trova risposta, ed è la seguente:
$S$ è minimale se e solo se $S$ è una base di $V$
potendo dimostrare che tutte le basi di $V$ hanno lo stesso numero di vettori, si può affermare che questo numero minimo esiste ed è il numero di vettori necessario a formare una base.
Sì, io so anche che la cardinalità minima di un sistema di generatori di Rn è proprio n (es: un insieme di generatori di R3 deve contenere minimo 3 vettori)... ad esempio un insieme composto da 2 vettori (di R3) non potrà mai essere un sistema di generatori di R3, nemmeno se il rango della matrice associata ad essi fosse massimo (2 nella fattispecie).Infatti prima di applicare il "criterio del rango", bisogna controllare la cardinalità dell'insieme in questione.
Esattamente
"Bokonon":
Proviamo con un esempio.
Un vettore (non nullo) di $R^3$ genera una retta.
E fin qui ok.
"Bokonon":
Due vettori dipendenti di $R^3$ non generano "nulla" insieme, ognuno di essi genera la medesima retta.
Falso.
Due vettori qualsiasi, dipendenti o indipendenti, generano un unico sottospazio, cioè l'intersezione di tutti i sottospazi che contengono entrambi i vettori.
Si dimostra che tale sottospazio contiene tutti e soli i vettori che si scrivono come combinazione lineare dei due vettori assegnati.
"Bokonon":
Due vettori indipendenti di $R^3$ generano un piano.
Tre vettori indipendenti di $R^3$ generano tutto $R^3$.
4 vettori ignoti (ovvero di cui non conosci le dipendenze o meno) di $R^3$ non generano nulla
Falso.
Essi generano un sottospazio, che può essere proprio o coincidere con $RR^3$.
"Bokonon":
[...] l'unica garanzia che hai è che almeno uno dipenderà dagli altri.
Giusto.
"Bokonon":
Non ha senso parlare di n (grande a piacere) vettori appartenenti ad uno spazio di dimensione mgeneratori.
Falso.
"gugo82":
Due vettori qualsiasi, dipendenti o indipendenti, generano un unico sottospazio, cioè l'intersezione di tutti i sottospazi che contengono entrambi i vettori.
Si dimostra che tale sottospazio contiene tutti e soli i vettori che si scrivono come combinazione lineare dei due vettori assegnati.
Hai fatto bene a precisare anche se è evidente da ciò che ho scritto che era un problema semantico da parte mia.
Io avrei davvero riservato il titolo di generatore solo a vettori che compongono una base.
Tutto il resto è "span" (detta all'anglosassone)
Ma infatti il problema non sei nè tu, nè le definizioni che abbracci: è che l’utente si confonde, se non pratico.
"Bokonon":
[quote="gugo82"]
Due vettori qualsiasi, dipendenti o indipendenti, generano un unico sottospazio, cioè l'intersezione di tutti i sottospazi che contengono entrambi
Hai fatto bene a precisare anche se
Io avrei davvero riservato il titolo di generatore solo a vettori che compongono una base.
Tutto il resto è "span" (detta all'anglosassone)[/quote]
Diciamo che sussiste un problema storico che riguarda le notazioni, e io ovviamente da studente mi baso su quelle... è un po' come se (parlando di calcio) volessi definire "attaccanti" soltanto i centravanti e non le ali d'attacco.
P.s. lo span (o copertura lineare) comunque viene definito anche come il sottospazio vettoriale generato dai vettori in questione, a testimonianza di questo "problema storico", è questione di notazioni...
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