Dubbio Spazi Vettoriali
Salve a tutti e grazie della disponibilità , ho un piccolo dubbio riguardante gli spazi vettoriali :
Poniamo di avere uno spazio S definito in forma cartesiana :
S= (-x+2y+z=0 , x+2y+z=0)
Mi viene poi dato un secondo spazio T generato dai vettori (1,-1,1) , (2,1,-1)
Se voglio portare lo spazio T nella stessa forma cartesiana di S come faccio ?
Un sistema del genere può andare ?
x=a+2b
y=-a+b
z=a-b
Ottenendo alla fine :
z=-y
b=y+a
a=(x-2y)/3
Avendo cosi uno spazio di tipo cartesiano T= (z+y=0) di dimensione 2 poichè (x,y,-y)
Ci sono metodi più rapidi ?
Poniamo di avere uno spazio S definito in forma cartesiana :
S= (-x+2y+z=0 , x+2y+z=0)
Mi viene poi dato un secondo spazio T generato dai vettori (1,-1,1) , (2,1,-1)
Se voglio portare lo spazio T nella stessa forma cartesiana di S come faccio ?
Un sistema del genere può andare ?
x=a+2b
y=-a+b
z=a-b
Ottenendo alla fine :
z=-y
b=y+a
a=(x-2y)/3
Avendo cosi uno spazio di tipo cartesiano T= (z+y=0) di dimensione 2 poichè (x,y,-y)
Ci sono metodi più rapidi ?
Risposte
Il metodo più veloce è quello che a occhio giudichi più veloce in quel momento.
Potresti prendere la stella di iperpiani passante per il punto $(0,0,0)$ ed imporre il passaggio per $(1,-1,1)$ e $(2,1,-1)$.
Dunque cercare $a,b,c \in \mathbb{R}$ tali che ${ax+by+cz = 0 $ per $(x,y,z)=(1,-1,1)$ e $(x,y,z)=(2,1,-1)}$, cioè risolvere il sistema dato dalle seguenti 2 equazioni:
$a-b+c=0$,
$2a + b -c=0$
cioè $a-b+c=0$ e $3a=0$, cioè $b=c$ ed $a=0$, allora:
$$T=\{by+bz=0\} = \{y+z=0\}$$
($b\ne 0$ perchè altrimenti non si avrebbe passaggio per i punti $(1,-1,1)$ e $(2,1,-1)$).
Un altro metodo è più meccanico e lo trovi sul libro di Geometria analitica di Marco Abate.
Prendi tutti i vettori che generano lo spazio e li consideri colonne di una matrice $A$ che poi vai a completare con una ulteriore colonna $x$ fatta di incognite ($x_1$,...$x_n$). Chiameremo $A':=(A|x)$.
A questo punto riduci questa matrice a scala con Gauss.
Quando avrai finito avrai ottenuto delle righe completamente nulle nella matrice $A$ ed in corrispondenza di queste righe avrai delle espressioni fatte di coordinate del vettore colonna $x$ nella matrice $A'$.
Metti a sistema tutte queste espressioni poste uguali a zero. Questo sistema rappresenta le coordinate cartesiane che cerchi.
Potresti prendere la stella di iperpiani passante per il punto $(0,0,0)$ ed imporre il passaggio per $(1,-1,1)$ e $(2,1,-1)$.
Dunque cercare $a,b,c \in \mathbb{R}$ tali che ${ax+by+cz = 0 $ per $(x,y,z)=(1,-1,1)$ e $(x,y,z)=(2,1,-1)}$, cioè risolvere il sistema dato dalle seguenti 2 equazioni:
$a-b+c=0$,
$2a + b -c=0$
cioè $a-b+c=0$ e $3a=0$, cioè $b=c$ ed $a=0$, allora:
$$T=\{by+bz=0\} = \{y+z=0\}$$
($b\ne 0$ perchè altrimenti non si avrebbe passaggio per i punti $(1,-1,1)$ e $(2,1,-1)$).
Un altro metodo è più meccanico e lo trovi sul libro di Geometria analitica di Marco Abate.
Prendi tutti i vettori che generano lo spazio e li consideri colonne di una matrice $A$ che poi vai a completare con una ulteriore colonna $x$ fatta di incognite ($x_1$,...$x_n$). Chiameremo $A':=(A|x)$.
A questo punto riduci questa matrice a scala con Gauss.
Quando avrai finito avrai ottenuto delle righe completamente nulle nella matrice $A$ ed in corrispondenza di queste righe avrai delle espressioni fatte di coordinate del vettore colonna $x$ nella matrice $A'$.
Metti a sistema tutte queste espressioni poste uguali a zero. Questo sistema rappresenta le coordinate cartesiane che cerchi.
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