Dubbio riduzione in forma canonica di una conica

[Xorik]

Ciao a tutti, allora oggi mentre studiavo come effettuare la riduzione in forma canonica di una conica mi è sorto un dubbio, cioè:
nel momento in cui trovo i due autovalori...come faccio a capire quale dei due sarà il coefficiente di x e quale quello di y senza trovare gli autovettori, sostituire ecc?
Mi spiego meglio: data questa applicazione lineare $3x^2+2xy+3y^2+2x-10y+7=0$ vado a trovare i determinanti delle matrici che vengono $A=-32$ e $B=8$ dove A è quella totale, mentre B è quella dei termini di secondo grado.
Dopodichè trovo i due autovalori:
$a=2$
$b=4$
Il dubbio è qui...come faccio a dire a priori che viene $2X^2+4Y^2-4=0$ e non $4X^2+2Y^2-4=0$ in che modo quindi scelgo il vettore da associare a x e y? Grazie e spero di essermi spiegato abbastanza chiaramente...

[cirasa]

Quando l'ho studiata io (tanto tempo fa) la forma canonica di una conica, abbiamo dimostrato il seguente
Teorema: Data una conica $C$ esiste un sistema di riferimento ortonormale tale che l'equazione della conica $C$ è in forma canonica.
Il riferimento "giusto" è quello per cui (per esempio nel caso ellisse) il centro è posto nell'origine del sistema di riferimento e gli assi cartesiani coincidono con gli assi dell'ellisse.

Detto questo, le due equazioni
(1) $2X^2+4Y^2=4$
e
(2) $4(X')^2+2(Y')^2=4$
sono entrambe equazioni canoniche della tua ellisse, naturalmente in un sistema di riferimento diverso.
Naturalmente il sistema di riferimento $(O,X',Y')$ è ottenuto dall'altro scambiando $X$ e $Y$.