Dubbio Pi Greco
ciao a tutti, ho un dubbio che mi perseguita da un po':
praticamente io ho sempre saputo che $\pi$ valesse $3,14....$ , solo che alcune volte ,soprattutto in goniometria sento che $\pi$ vale $180°$ e molto spesso non so che valore usare, ad esempio nel momento in cui bisogna passare da gradi a radianti,non so se quel $\pi$ vale $180°$ oppure $3,14...$.
Da come avrete potuto notare ho un po' di confusione a riguardo, mi potreste spiegare come stanno realmente le cose?
Grazie mille anticipo
praticamente io ho sempre saputo che $\pi$ valesse $3,14....$ , solo che alcune volte ,soprattutto in goniometria sento che $\pi$ vale $180°$ e molto spesso non so che valore usare, ad esempio nel momento in cui bisogna passare da gradi a radianti,non so se quel $\pi$ vale $180°$ oppure $3,14...$.
Da come avrete potuto notare ho un po' di confusione a riguardo, mi potreste spiegare come stanno realmente le cose?
Grazie mille anticipo
Risposte
\(\pi\) è un numero reale che può essere definito in molti modi.
Geometricamente, esso è il rapporto tra l'area di un cerchio ed il quadrato del suo raggio, ovverosia il rapporto tra lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro.
Analiticamente, esso è la metà del periodo delle soluzioni della EDO \(y^{\prime \prime} (x) +y(x)=0\), oppure la somma della serie \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 4}{2n+1}\).
[Ma di definizioni altrettanto buone ce ne sono a caterve...]
In particolare, con metodi di calcolo noti già nel '700, si vede che \(\pi\approx 3.1415926536\).
Data la seconda definizione geometrica di \(\pi\) è evidente che, quando si sceglie di misurare gli angoli in radianti, allora l'angolo di \(360^\circ\) misura \(2\pi \text{ rad}\), ossia che l'angolo di \(180^\circ\) misura \(\pi \text{ rad}\).
Dato che (per dirla coi Fisici) il radiante è un'unità di misura adimensionale, essendo rapporto di due lunghezze, i Matematici tendono a non usare mai il simbolo \(\text{rad}\) e chiamano semplicemente "angolo di ampiezza \(\pi\)" l'angolo piatto.
Geometricamente, esso è il rapporto tra l'area di un cerchio ed il quadrato del suo raggio, ovverosia il rapporto tra lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro.
Analiticamente, esso è la metà del periodo delle soluzioni della EDO \(y^{\prime \prime} (x) +y(x)=0\), oppure la somma della serie \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 4}{2n+1}\).
[Ma di definizioni altrettanto buone ce ne sono a caterve...]
In particolare, con metodi di calcolo noti già nel '700, si vede che \(\pi\approx 3.1415926536\).
Data la seconda definizione geometrica di \(\pi\) è evidente che, quando si sceglie di misurare gli angoli in radianti, allora l'angolo di \(360^\circ\) misura \(2\pi \text{ rad}\), ossia che l'angolo di \(180^\circ\) misura \(\pi \text{ rad}\).
Dato che (per dirla coi Fisici) il radiante è un'unità di misura adimensionale, essendo rapporto di due lunghezze, i Matematici tendono a non usare mai il simbolo \(\text{rad}\) e chiamano semplicemente "angolo di ampiezza \(\pi\)" l'angolo piatto.
ciao,ho capito abbastanza bene il tuo discorso ma non ho ben capito ancora nella pratica cosa devo fare.
MI spiego meglio:
ho un esercizio in cui devo vedere quanti gradi corrispondono a 1 radiante;
allora ho impostato la seguente proporzione:
$ 2 \pi : 360 = 1 : x $
quindi
$x=\frac{360 * 1}{2 \pi }$
Io ho sempre inteso che $\pi$ valga $180°$ perciò come risultato mi veniva $1$,mentre appunto il risultato giusto è $57°$.
Per arrivare a quest'ultimo bisogna far valere $\pi 3,14$.
Quindi ricado nel pallone e mi chiedo:
"A $\pi$ assegno $180°$ o $3,14$ ?
Un altro esercizio che mi fa venire i dubbi è quando ad esempio ho la misura in radianti di qualche angolo in gradi,esempio:
$ \pi/2 = 90°$
in questo caso se divido $180(\pi) per 2$ viene appunto 90
mentre se assumo che $\pi$ sia $3,14$ non viene.
MI spiego meglio:
ho un esercizio in cui devo vedere quanti gradi corrispondono a 1 radiante;
allora ho impostato la seguente proporzione:
$ 2 \pi : 360 = 1 : x $
quindi
$x=\frac{360 * 1}{2 \pi }$
Io ho sempre inteso che $\pi$ valga $180°$ perciò come risultato mi veniva $1$,mentre appunto il risultato giusto è $57°$.
Per arrivare a quest'ultimo bisogna far valere $\pi 3,14$.
Quindi ricado nel pallone e mi chiedo:
"A $\pi$ assegno $180°$ o $3,14$ ?
Un altro esercizio che mi fa venire i dubbi è quando ad esempio ho la misura in radianti di qualche angolo in gradi,esempio:
$ \pi/2 = 90°$
in questo caso se divido $180(\pi) per 2$ viene appunto 90
mentre se assumo che $\pi$ sia $3,14$ non viene.
I gradi (sessagesimali) sono un'unità di misura per gli angoli, i radianti un'altra, sono unità di misura diverse per la stessa grandezza, (come, ad esempio, metri e piedi per le lunghezze). Ogni unità di misura ha una propria definizione, il grado è la trecentosessantesima parte di un angolo giro, ovvero l'angolo compreso tra due semirette coincidenti. Una misura in gradi si effettua esprimendo il rapporto tra un angolo dato e l'unità di misura. Per i radianti c'è una definizione operativa estremamente più comoda che non richiede il ricorso ad un confronto con l'unità (sebbene sia possibile), in quanto la misura di un angolo in radianti è definita come il rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza sottesa dall'angolo ed il raggio della suddetta circonferenza. Come ha già detto gugo82 è ovvio che data tale definizione la misura in radianti di un angolo piatto risulterà essere proprio $\pi$. $\pi$ è una costante, il suo valore è dato da una definizione e non cambia, l'approssimazione decimale a meno di $10^{-3}$ di $\pi$ è $3.14$. Tenendo sempre in mente questo, cerca di riscrivere quegli esercizi espletando sempre di fianco ad ogni valore l'unità di misura in cui è espresso e vedrai che ti si schiariranno un bel po' le idee.
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