Dubbio matrice di rotazione

[getrekt12]

Buongiorno e buona domenica a tutti!

Mi chiedevo se poteste aiutarmi a risolvere un dubbio sulla matrice di rotazione.
Premetto di aver seguito un corso di algebra streminzito nel quale nemmeno veniva trattata: potrebbe quindi risultare una domanda molto banale.
Vedo spesso due forme della matrice di rotazione (supponiamo attorno all'asse $e_3=(0,0,1)$ ) che sono le seguenti:
\[\left[\begin{matrix}\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\]

\[\left[\begin{matrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta)& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\]
Potreste spiegarmi la differenza?

Grazie mille dell'attenzione.

[solaàl]

Una è la trasposta, e quindi l'inversa, dell'altra.

[getrekt12]

Perfetto, quindi una indica una rotazione oraria e l'altra antioraria?

[solaàl]

Definisci "oraria".

[Bokonon]

Esatto e la prima é oraria rispetto alla direzione dell'asse z.
Ma capisci perché è una rotazione ortogonale?

[getrekt12]

Chiedo scusa per l'imprecisione. Intendevo dire che se trasformo un vettore di $\mathbb{R}^3$ mediante la prima matrice e ottengo un vettore ruotato di un angolo $\theta$ nel piano ortogonale ad $e_3$, con la seconda lo ruoto di un angolo $-\theta$.
E' così?
Grazie ancora dell'aiuto!

[getrekt12]

"Bokonon":Esatto e la prima é oraria rispetto alla direzione dell'asse z.
Ma capisci perché è una rotazione ortogonale?

Ok, chiaro. E' una rotazione ortogonale perchè la matrice è ortogonale, cioè la trasposta coincide con l'inversa, dico bene?

[Bokonon]

Si. Ma questo accade perché i due vettori della matrice ridotta 2*2 hanno norma unitaria e sono perpendicolari.

[getrekt12]

Perfetto, molto gentili. Grazie mille!