Dubbio esercizio calcolo rango

[Giud1]

Ciao a tutti, in questo esercizio ho la matrice

$A$ = $((1,-4,2),(0,t+1,-1),(0,0,t-3),(0,0,t))$

e devo valutare come varia il rango con il parametro $t$. L'esercizio è svolto e nella soluzione c'è scritto che per $t!=-1,3$ il rango della matrice è $3$, e in effetti il determinante del minore ottenuto prendendo le prime tre righe si annulla per questi due valori di $t$. Però poi dice che se $t=-1$ il rango è $2$, e non capisco perché...se prendo il minore

$((1,-4,2),(0,0,t-3),(0,0,t))$

e imposto $t=-1$ ottengo

$((1,-4,2),(0,0,-4),(0,0,-1))$

che ha determinante uguale a $16$. Questo non mi basta per dire che anche quando $t=-1$ il rango di $A$ è $3$?
Cosa sto sbagliando?

grazie

[caffeinaplus]

In questo caso io direi che andare avanti col determinante è piuttosto scomodo, ma conviene analizzare le situazioni che si palesano guardando la matrice.

Partiamo con una osservazione: il numero massimo di righe linearmente indipendenti è uguale a quello delle colonne linearmente indipendenti.

Quindi partiamo con il fatto che $rg(A) <=3$

Ora, per $t=0$ l'ultima riga si annulla e il rango è 3.

Per $t=-1$ si vede immediatamente che la 2 riga annulla la 4 e che moltiplicando per $-4$ la seconda riga e sottraendola alla terza si ha che il rango è $rg(A) =2$

Per $t=3$ il rango è evidentemente $rg(A) =3$.

Infine, data l'osservazione iniziale, possiamo concludere che per $t != -1$ il rango della matrice è massimo, ovvero 3

Ammesso non abbia fatto errori di calcolo, non mi pare plausibile il rango non sia massimo per $t=3$

[Giud1]

Grazie per la risposta. Il tuo svolgimento mi tornava, ma il mio dubbio rimaneva (seppure scomodo, il metodo dei determinanti dovrebbe portare allo stesso risultato). Riguardandolo però mi accorgo di aver sbagliato il calcolo del determinante! Quando $t=-1$ la matrice che ottengo non ha nessun minore 3x3 con determinante diverso da zero. Quindi il rango non può essere $3$, e infatti è $2$. Grazie!