Dubbi sulla quadratura del cerchio
Ciao a tutti! Avrei bisogno di un vostro aiuto circa la quadratura del cerchio; ricercando informazioni su Internet ho già capito di cosa si tratta (problema irrisolvibile a causa della trascendenza del numero pi greco); quello che non ho capito è quello che c'è scritto su questo tema sul nostro manuale e che devo studiare.
Grazie mille per la vostra collaborazione; ora vi riporto esattamente le parole del libro sperando che qualcuno di voi ci capisca qualcosa in più!:
"QUADRATURA DEL CERCHIO = Ci proponiamo di determinare l'estensione superficiale (cioè l'area) di un cerchio, considerando le aree dei poligoni inscritti e circoscritti. Intuitivamente, potremo considerare le aree dei poligoni inscritti e circoscritti come approssimazioni, rispettivamente per difetto e per eccesso, dell'area del cerchio.
Consideriamo ora le due classi di grandezze costituite dale superfici dei poligoni rispettivamente inscritti e circoscritti ad una stessa circonferenza. Poichè ogni poligono inscritti in un dato cerchio è contenuto in ogni poligono ad esso circoscritto, l'estensione superficiale dei poligoni inscritti è sempre minore di quella dei poligoni circoscritti: le due classi sono perciò SEPARATE.
Inoltre, si potrebbe dimostrare che prefissata un'area S arbitraria, piccola a piacere, è possibile determinare due poligoni, uno per ciascuna classe, la differenza delle cui aree è minore di S: le due classi sono, anche, INDEFINITAMENTE RAVVICINATE. Esse sono, quindi, CONTIGUE; chiameremo AREA DEL CERCHIO l'elemento separatore tra le due sopraddette classi contigue.
Si potrebbe dimostrare, inoltre, che l'area di un triangolo T, avente per base la circonferenza rettificata di un dato cerchio e per altezza il raggio del cerchio, è elemento di separazione tra le classi contigue formate dai poligoni inscritti e da quelli circoscritti a quel cerchio. Pertanto, per l'unicità dell'elemento separatore delle due classi contigue, si può concludere che il cerchio ed il triangolo T sono equivalenti. E così si può anche affermare che UN CERCHIO E' EQUIVALENTE AD UN TRIANGOLO AVENTE PER BASE LA CIRCONFERENZA RETTIFICATA E PER ALTEZZA IL RAGGIO."
Nella digitazione, ho messo in stampatello maiuscolo le parole che il libro poneva in grassetto.
Vi ringrazio anticipatamente per le vostre delucidazioni...penso che mi manchino troppi concetti base per comprendere una spiegazione così complessa ed articolata!
Grazie mille,
Siwy
Grazie mille per la vostra collaborazione; ora vi riporto esattamente le parole del libro sperando che qualcuno di voi ci capisca qualcosa in più!:
"QUADRATURA DEL CERCHIO = Ci proponiamo di determinare l'estensione superficiale (cioè l'area) di un cerchio, considerando le aree dei poligoni inscritti e circoscritti. Intuitivamente, potremo considerare le aree dei poligoni inscritti e circoscritti come approssimazioni, rispettivamente per difetto e per eccesso, dell'area del cerchio.
Consideriamo ora le due classi di grandezze costituite dale superfici dei poligoni rispettivamente inscritti e circoscritti ad una stessa circonferenza. Poichè ogni poligono inscritti in un dato cerchio è contenuto in ogni poligono ad esso circoscritto, l'estensione superficiale dei poligoni inscritti è sempre minore di quella dei poligoni circoscritti: le due classi sono perciò SEPARATE.
Inoltre, si potrebbe dimostrare che prefissata un'area S arbitraria, piccola a piacere, è possibile determinare due poligoni, uno per ciascuna classe, la differenza delle cui aree è minore di S: le due classi sono, anche, INDEFINITAMENTE RAVVICINATE. Esse sono, quindi, CONTIGUE; chiameremo AREA DEL CERCHIO l'elemento separatore tra le due sopraddette classi contigue.
Si potrebbe dimostrare, inoltre, che l'area di un triangolo T, avente per base la circonferenza rettificata di un dato cerchio e per altezza il raggio del cerchio, è elemento di separazione tra le classi contigue formate dai poligoni inscritti e da quelli circoscritti a quel cerchio. Pertanto, per l'unicità dell'elemento separatore delle due classi contigue, si può concludere che il cerchio ed il triangolo T sono equivalenti. E così si può anche affermare che UN CERCHIO E' EQUIVALENTE AD UN TRIANGOLO AVENTE PER BASE LA CIRCONFERENZA RETTIFICATA E PER ALTEZZA IL RAGGIO."
Nella digitazione, ho messo in stampatello maiuscolo le parole che il libro poneva in grassetto.
Vi ringrazio anticipatamente per le vostre delucidazioni...penso che mi manchino troppi concetti base per comprendere una spiegazione così complessa ed articolata!
Grazie mille,
Siwy
Risposte
credo semplicemente che stai mischiando due concetti diversi: il problema della quadratura del cerchio consiste nel tentativo di costruire solo con riga e compasso un quadrato di area $\pi$.. problema irrisolvibile appunto perchè $\pi$ è trascendente... ma basta molto meno della trascendenza, in realtà. Il problema che hai posto è invece un problema di quadratura analitica, cioè di un integrale: il procedimento che hai descitto è infatti il classico procedimento che porta alla definizione di integrale definito, come area sottesa da una certa funzione o racchiusa da un certa curva chiusa
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