Dove finisce la geometria sintetica?
Io ho sempre avuto la nozione che la geometria sintetica è la geometria euclidea fatta con le congruenze e la geometria euclidea fatta con le congruenze è la geometria sintetica, ove per geometria euclidea intendo quella dei postulati di Euclide (o di Hilbert se preferite un maggiore formalismo assiomatico). Le geometrie non euclidee le ho sempre viste non sintetiche e non sintetiche ho sempre valutato la geometria in cui rientra l'uso delle trasformazioni geometriche.
Le domande che ora mi pongo sono: "la geomtria euclidea con l'introduzione del concetto di misura è sintetica?", "la geometria euclidea con le trasformazioni geometriche è sintetica?", "è possibile parlare di approccio sintetico anche per le geometrie non euclidee?".
Dato che io non mi so rispondere, lascio a voi il compito.
Le domande che ora mi pongo sono: "la geomtria euclidea con l'introduzione del concetto di misura è sintetica?", "la geometria euclidea con le trasformazioni geometriche è sintetica?", "è possibile parlare di approccio sintetico anche per le geometrie non euclidee?".
Dato che io non mi so rispondere, lascio a voi il compito.
Risposte
Passati i tre giorni, piccolo up!
Non ho capito esattamente cosa sia per te la geometria sintetica. Cmq credo che possiamo definirla (assai barbaramente...) la geometria che insegnano ai primi anni delle superiori......tutta congruenze di angoli e triangoli.
Per tornare alle tue domande
"la geomtria euclidea con l'introduzione del concetto di misura è sintetica?"
credo che il concetto di misura sia parte integrante della geometria euclidea....come fai a dire che due segmenti sono congruenti se non ha dato un senso alla nozione di lunghezza di un segmento?!?!
"è possibile parlare di approccio sintetico anche per le geometrie non euclidee?"
mi pare difficile... Prova a pensare alle geometrie non euclidee come a geometrie su superfici che hanno una curvatura variabile quindi le proprietà geometriche del tuo spazio dipendono sensibilmente dal punto in cui ti trovi, sono locali, ed è dura trattare di cose del genere senza il calcolo tensoriale...
Per tornare alle tue domande
"la geomtria euclidea con l'introduzione del concetto di misura è sintetica?"
credo che il concetto di misura sia parte integrante della geometria euclidea....come fai a dire che due segmenti sono congruenti se non ha dato un senso alla nozione di lunghezza di un segmento?!?!
"è possibile parlare di approccio sintetico anche per le geometrie non euclidee?"
mi pare difficile... Prova a pensare alle geometrie non euclidee come a geometrie su superfici che hanno una curvatura variabile quindi le proprietà geometriche del tuo spazio dipendono sensibilmente dal punto in cui ti trovi, sono locali, ed è dura trattare di cose del genere senza il calcolo tensoriale...
"alle.fabbri":
credo che il concetto di misura sia parte integrante della geometria euclidea....come fai a dire che due segmenti sono congruenti se non ha dato un senso alla nozione di lunghezza di un segmento?!?!
Beh, non è propriamente vero: le costruzioni geometriche che utilizzano il compasso o la riga graduata non sono costruzioni geometriche classiche, infatti è noto che trisecare un angolo con una costruzione classica non è possibile.
Il mio dubbio è proprio questo: con l'uso della misura degli enti geometrici, la geometria sintetica "finisce"?
Fino a quando si lavora sulle congruenze sono d'accordo che sia sintetica, ma se per esempio uno dice "i due segmenti hanno la stessa misura", "la misura della prima area è doppia della seconda", "il cateto misura 3cm", stiamo ancora lavorando con la geometria sintetica?
Io non ho mai sentito parlare di una vera e propria definizione di "geometria sintetica". Me ne hanno sempre parlato, però, e ti posso dire cosa penso io al riguardo, ma siamo in un campo molto aperto alle discussioni.
Secondo il mio parere, non si può definire sintetica una geometria in cui si utilizza la misura. Utilizzando la misura alcuni (molti) teoremi diventano più facili, ma l'approccio sintetico, sempre secondo la mia personale sensibilità, è quello che non utilizza la continuità.
Se conosci il sistema assiomatico hilbertiano, direi che la geometria sintetica finisce con la geometria minimale (assiomi di incidenza, ordine e congruenza), a cui volendo fare geometria euclidea, si può aggiungere l'assioma delle parallele.
E, sempre secondo la mia sensibilità, non classificherei nemmeno il teorema di Talete come geometria sintetica...
Tuttavia, ripeto, ho l'impressione che si tratti di posizioni molto soggettive e, pertanto, opinabili.
Secondo il mio parere, non si può definire sintetica una geometria in cui si utilizza la misura. Utilizzando la misura alcuni (molti) teoremi diventano più facili, ma l'approccio sintetico, sempre secondo la mia personale sensibilità, è quello che non utilizza la continuità.
Se conosci il sistema assiomatico hilbertiano, direi che la geometria sintetica finisce con la geometria minimale (assiomi di incidenza, ordine e congruenza), a cui volendo fare geometria euclidea, si può aggiungere l'assioma delle parallele.
E, sempre secondo la mia sensibilità, non classificherei nemmeno il teorema di Talete come geometria sintetica...
Tuttavia, ripeto, ho l'impressione che si tratti di posizioni molto soggettive e, pertanto, opinabili.
@maurer
Capisco il tuo discorso e, in parte lo condivido. Dico "in parte" perché credo che un "common sense" nell'uso del termine geometria sintetica vi sia, il problema è trovare qualcuno che lo conosce, e dico problema perché mi pare che questa geometria sia la meno praticata (almeno per quella che è la mia esperienza fino a questo momento, poi è probabile che mi sbagli).
Capisco il tuo discorso e, in parte lo condivido. Dico "in parte" perché credo che un "common sense" nell'uso del termine geometria sintetica vi sia, il problema è trovare qualcuno che lo conosce, e dico problema perché mi pare che questa geometria sia la meno praticata (almeno per quella che è la mia esperienza fino a questo momento, poi è probabile che mi sbagli).
No, anch'io ho sempre trovato poche persone che sanno cos'è la geometria sintetica; il problema è che nella maggior parte dei casi è più difficile dimostrare un problema in geometria sintetica, come ho già detto... Tuttavia, visto che di opinioni si sta parlando, io ritengo anche che sia estremamente più elegante e raffinata. E personalmente la preferisco...
Concordo: impazzisco per le dimostrazioni di geometria sintetica!
"WiZaRd":
le costruzioni geometriche che utilizzano il compasso o la riga graduata non sono costruzioni geometriche classiche, infatti è noto che trisecare un angolo con una costruzione classica non è possibile.
Cosa intendi?
in ogni caso.....non vorrei offendere il gusto estetico di nessuno, però, secondo me, se hanno inventato la trigonometria un motivo ci sarà..... Poi non mi piace affidarmi ad una teoria in cui la maggior parte dei teoremi fondamentali sono dimostrabili solo per assurdo.
Beh, la trigonometria è stata inventata perché alcuni teoremi non si possono proprio dimostrare senza ricorrere alla forza bruta... E poi, sempre secondo il mio gusto personale le dimostrazioni per assurdo sono tra le più belle dimostrazioni che si possano fare... Hanno un che di affascinante! Hardy nell'"Apologia di un Matematico" dichiara che la dimostrazione per assurdo è la tecnica di dimostrazione più bella della matematica e giustifica la sua posizione con una metafora che ritengo splendida. La dimostrazione per assurdo può essere paragonata al sacrificio in una partita a scacchi, solo che è molto più bella, per questo motivo: il giocatore di scacchi può offrire al massimo la regina in sacrificio, mentre il matematico offre l'intera partita.
Citazioni a parte, riesco a capire la tua posizione filosofica (sei affine all'intuizionismo?), anche se personalmente non la condivido. D'altra parte questo è un terreno minato, è praticamente inutile perdere del tempo su queste problematiche: essendo fuori dal dominio della matematica, non ci sono molte speranze di venirne a capo...
Citazioni a parte, riesco a capire la tua posizione filosofica (sei affine all'intuizionismo?), anche se personalmente non la condivido. D'altra parte questo è un terreno minato, è praticamente inutile perdere del tempo su queste problematiche: essendo fuori dal dominio della matematica, non ci sono molte speranze di venirne a capo...
"alle.fabbri":
Cosa intendi?
Tu hai detto che il concetto di misura è parte integrante della geometria euclidea: su questo ho qualche dubbio perché le costruzioni geometriche classiche (quelle che Euclide espone negli Elementi) non prevedeno la possibilità di misurare gli enti, difatti l'uso del compasso per riportare una misura è proibito.
Almeno questo è quello che so.
Si sono daccordo con te che stiamo "uscendo dal seminato". Nel senso che questi sono più propriamente problemi di logica... Io capisco te e Hardy quando guardate alla bellezza delle dimostrazioni per assurdo, è il loro valore fondante che mi viene da mettere in discussione. Quello che voglio dire è che le dimostrazioni per assurdo sottendono una concezione di verità bimodale, cioè un'affermazione p può essere o "vera" o "falsa", in maniera esclusiva, non sono ammesse altre possibilità. Io sono un fisico quindi di cose strane ne ho studiate molte e mi sembra riduttivo fondare la fisica su un tale principio. Non so se mastichi un po' di meccanica quantistica.....ma se prendi l'esperimento delle due fenditure, un'affermazione come "l'elettrone è passato per la fenditura 1" non è nè vera nè falsa....i famosi indicidibili. (un esempio Per non stare a tirar fuori il solito Godel....)
@WiZaRd
Quello di cui stai parlando tu è il famoso compasso collassabile. Mi permetto di osservare, però, che questa limitazione è di fatto inesistente. Infatti, è possibile in geometria euclidea, sfruttando le proprietà dei parallelogrammi, riportare misure. Se vorrete, proverò a scendere nei dettagli.
@alle.fabbri
Purtroppo di Fisica non ne capisco molto... Credo comunque di aver capito l'esperimento a cui ti stai riferendo. Esistono, comunque, logiche a più valori (le conosco per sentito dire, quindi non sono veramente padrone dell'argomento); in ogni caso vorrei fare un'ultima precisazione, riguardo a Godel. Il tuo esempio va benissimo e, secondo me, hai così reso l'idea molto meglio di quanto non avresti potuto fare riferendoti ai teoremi di indecibilità.
Non è per polemizzare (perché ne capisco molto meno di voi in questi argomenti), tuttavia c'è una tendenza a citare i teoremi di Godel dimenticandosi che, come tutti i teoremi, hanno delle ipotesi. L'indecibilità è dimostrata per linguaggi "sufficientemente potenti" (cioè, per quanto ne so, in grado di riprodurre il linguaggio dell'aritmetica). Non so sinceramente se la geometria euclidea sia soggetta a questi teoremi (anche se mi sembrava di aver sentito una volta che non è così).
Quello di cui stai parlando tu è il famoso compasso collassabile. Mi permetto di osservare, però, che questa limitazione è di fatto inesistente. Infatti, è possibile in geometria euclidea, sfruttando le proprietà dei parallelogrammi, riportare misure. Se vorrete, proverò a scendere nei dettagli.
@alle.fabbri
Purtroppo di Fisica non ne capisco molto... Credo comunque di aver capito l'esperimento a cui ti stai riferendo. Esistono, comunque, logiche a più valori (le conosco per sentito dire, quindi non sono veramente padrone dell'argomento); in ogni caso vorrei fare un'ultima precisazione, riguardo a Godel. Il tuo esempio va benissimo e, secondo me, hai così reso l'idea molto meglio di quanto non avresti potuto fare riferendoti ai teoremi di indecibilità.
Non è per polemizzare (perché ne capisco molto meno di voi in questi argomenti), tuttavia c'è una tendenza a citare i teoremi di Godel dimenticandosi che, come tutti i teoremi, hanno delle ipotesi. L'indecibilità è dimostrata per linguaggi "sufficientemente potenti" (cioè, per quanto ne so, in grado di riprodurre il linguaggio dell'aritmetica). Non so sinceramente se la geometria euclidea sia soggetta a questi teoremi (anche se mi sembrava di aver sentito una volta che non è così).
Sinceramente preferisco le dimostrazioni costruttive!
Comunque, sarebbe possibile secondo voi affermare che la geometria sintetica è quella in cui punto, retta e piano sono enti primitivi non definibili al contrario di quella affine in cui punto retta e piano vengono definiti come sottospazi affini di un generico spazio affine? Se ho detto scemenze ditelo senza timore!
Comunque, sarebbe possibile secondo voi affermare che la geometria sintetica è quella in cui punto, retta e piano sono enti primitivi non definibili al contrario di quella affine in cui punto retta e piano vengono definiti come sottospazi affini di un generico spazio affine? Se ho detto scemenze ditelo senza timore!
WiZ, scusa, mi definisci "congruenza" in Geometria sintetica?
Scusa se rispondo io... Se per Geometria sintetica accettiamo la mia "proposta" (geometria minimale + parallele), allora "congruenza" è uno dei sei termini indefiniti scelti da Hilbert... Gli assiomi di congruenza stabiliscono poi le proprietà di tale relazione indefinita.
@Gugo82
Quoto maurer.
@maurer
A proposito del compasso collassabile: nelle costruzioni geometriche classiche il righelo deve essere non graduato e può essere usato solo per
* congiungere tra loro con un segmento due punti assegnati;
* prolungare in linea retta da una o da entrambe le parti un segmento assegnato.
Il compasso può essere usato solo per tracciare un cerchio, dati il suo centro e un punto della circonferenza.
Non è lecito usare la riga graduata, né segnare su di essa delle tacche, per riportare la lunghezza di un segmento da inserire da qualche parte a "tentativi"; non si può neanche usare il compasso alzandolo dal foglio mantenendolo aperto, allo stesso scopo. Tali indicazioni si trovano evidenziate (senza esplicitare i termini "riga" e "compasso", ma trattando in astratto di punti, linee rette e cerchi), nei primi tre postulati degli "Elementi di geometria" di Euclide. Inoltre la seconda Proposizione del I libro degli Elementi di Euclide stabilisce la costruzione con riga e compasso del "trasporto del segmento", ovvero spiega come usare correttamente riga e compasso per costruire un segmento uguale a un segmento assegnato e avente un estremo in un punto dato.
So che per trisecare un angolo esistono diverse costruzioni, una delle quali attribuita ad Archimede di Siracusa, ma non sono costruzioni "classiche".
Questo almeno è quello che so.
Quoto maurer.
@maurer
A proposito del compasso collassabile: nelle costruzioni geometriche classiche il righelo deve essere non graduato e può essere usato solo per
* congiungere tra loro con un segmento due punti assegnati;
* prolungare in linea retta da una o da entrambe le parti un segmento assegnato.
Il compasso può essere usato solo per tracciare un cerchio, dati il suo centro e un punto della circonferenza.
Non è lecito usare la riga graduata, né segnare su di essa delle tacche, per riportare la lunghezza di un segmento da inserire da qualche parte a "tentativi"; non si può neanche usare il compasso alzandolo dal foglio mantenendolo aperto, allo stesso scopo. Tali indicazioni si trovano evidenziate (senza esplicitare i termini "riga" e "compasso", ma trattando in astratto di punti, linee rette e cerchi), nei primi tre postulati degli "Elementi di geometria" di Euclide. Inoltre la seconda Proposizione del I libro degli Elementi di Euclide stabilisce la costruzione con riga e compasso del "trasporto del segmento", ovvero spiega come usare correttamente riga e compasso per costruire un segmento uguale a un segmento assegnato e avente un estremo in un punto dato.
So che per trisecare un angolo esistono diverse costruzioni, una delle quali attribuita ad Archimede di Siracusa, ma non sono costruzioni "classiche".
Questo almeno è quello che so.
"maurer":
Non è per polemizzare (perché ne capisco molto meno di voi in questi argomenti), tuttavia c'è una tendenza a citare i teoremi di Godel dimenticandosi che, come tutti i teoremi, hanno delle ipotesi. L'indecibilità è dimostrata per linguaggi "sufficientemente potenti" (cioè, per quanto ne so, in grado di riprodurre il linguaggio dell'aritmetica).
Infatti...Godel delle volte viene citato con troppa nonchalance. Mi pare di ricordare che, ad esempio, l'aritmetica (nel senso di $(QQ,*,+)$) sia un sistema completo alla Godel. Di fatto, per quanto ne ho capito io, la cosa limitante sta nel secondo teorema di incompletezza. Sarebbe poi quello che tratta di metateorie e afferma che nessuna di esse può essere contemporaneamente completa e coerente. Però sono cose troppo oltre la portata del mio cervellino......
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