Domandina veloce sistema lineare

[cechuz]

ragazzi io ho questo spazio vettoriale così definito $ U={(x,y,z)in R^3|x+z=0} $ e devo esplicitarlo, allora considero il sistema lineare associato:
$ { ( x+z=0),( y=t ):} $
ora mi stavo chiedendo, se io ricavo la $x$ ponendo la $z$ come parametro, è lo stesso se faccio il contrario?
Perchè se $ { ( x=s ),( y=t ),( z=-s ):} $ ho che $ U={(s,t,-s)|s,t in R} $ quindi $ B(U)={(1,0,-1),(0,1,0)} $

se invece $ { ( x=-s ),( y=t ),( z=s ):} $ ho che $ U={(-s,t,s)|s,t in R} $ quindi $ B(U)={(-1,0,1),(0,1,0)} $
Però stavo pensando che dal momento che una base è anche un set di generatori, lo spazio vettoriale considerato cambia...o mi sbaglio?

[Bokonon]

$ B(U)={(1,0,-1),(0,1,0)} $
$ B(U)={(-1,0,1),(0,1,0)} $
$ B(U)={(pi,0,-pi),(0,-e,0)} $
Etc etc sono tutte basi dello stesso spazio vettoriale....