Domande su matrici, vettori e trasformazioni lineari
Buongiorno a tutti,
La nostra professoressa di Matematica Discreta ci ha sottoposto un test V/F, ho risposto a tutte le domande ma non sono sicura siano corrette. Potreste aiutarmi?
1) Una matrice quadrata con determinante uguale a zero ha sempre rango uguale a zero? Falso
2) I vettori $v_1 = (1/2, -1/2)$ e $v_2 = (-1, 1)$ sono indipendenti in $R^2$? Falso
3) Il sottospazio $W = {(2h, 2h): h in R}$ di $R^2$ ha dimensione 2? Falso
4) I vettori $(1,1,1,1)$ e $(0,1,0,-1)$ sono ortogonali? Vero
5) Esistono 5 vettori linearmente dipendenti in $R^5$ che generano $R^5$? Falso
6) n vettori linearmente indipendenti in $R^n$ generano tutto $R^n$? Vero
7) Se la trasformazione lineare $F: R^4 -> R^5$ ha rango 4 allora è iniettiva? Vero
8) Se F è lineare per un certo v, vale $F(v) = 0$ allora v è vettore nullo? Falso
9) Se l'immagine $Im(F)$ della trasformazione lineare $F: R^4 -> R^5$ ha dimensione 4 allora F è suriettiva? Falso
10) $N$ e $R/N$ hanno la stessa cardinalità? Vero
Grazie infinite!
La nostra professoressa di Matematica Discreta ci ha sottoposto un test V/F, ho risposto a tutte le domande ma non sono sicura siano corrette. Potreste aiutarmi?
1) Una matrice quadrata con determinante uguale a zero ha sempre rango uguale a zero? Falso
2) I vettori $v_1 = (1/2, -1/2)$ e $v_2 = (-1, 1)$ sono indipendenti in $R^2$? Falso
3) Il sottospazio $W = {(2h, 2h): h in R}$ di $R^2$ ha dimensione 2? Falso
4) I vettori $(1,1,1,1)$ e $(0,1,0,-1)$ sono ortogonali? Vero
5) Esistono 5 vettori linearmente dipendenti in $R^5$ che generano $R^5$? Falso
6) n vettori linearmente indipendenti in $R^n$ generano tutto $R^n$? Vero
7) Se la trasformazione lineare $F: R^4 -> R^5$ ha rango 4 allora è iniettiva? Vero
8) Se F è lineare per un certo v, vale $F(v) = 0$ allora v è vettore nullo? Falso
9) Se l'immagine $Im(F)$ della trasformazione lineare $F: R^4 -> R^5$ ha dimensione 4 allora F è suriettiva? Falso
10) $N$ e $R/N$ hanno la stessa cardinalità? Vero
Grazie infinite!
Risposte
[xdom="vict85"]Seppur il tuo esami si chiami Matematica Discreta le domande sono di algebra lineare. Sposto quindi in geometria e algebra lineare.[/xdom]
C'è un solo modo per essere sicuri: motivare le risposte.
(1) Se è falso il rango può assumere altri valori, quali? Sai fare degli esempi di matrici \(2\times2\) con determinante uguale a zero e con rango di quel valore?
(2) Se sono linearmente dipendenti allora esiste una composizione lineare dei due vettori che dia come risultato il vattore \((0,0)\). Scrivila.
(3) Che dimensione ha quel sottospazio? Sai esplicitarne una base?
(4) Se scrivi che è vero immagino tu abbia calcolato il prodotto scalare dei due.
(5) Perché è falso? Cita i teoremi corrispondenti.
(6) Perché è vero? Cita i teoremi corrispondenti.
e così via. Insomma hai capito il principio.
Riguardo la (8) non so cosa intenda per lineare per un certo valore. Immagino voglia dire che è lineare in generale.
Nella (10), con \(\displaystyle N \) intendi \(\displaystyle \mathbb{N} \), l'insieme dei numeri interi non-negativi? Il quoziente è riferito a che equivalenza? Perché nel modo in cui lo intendo io in genere, direi che la (10) è falsa: ha la caldinalità di \(\displaystyle \mathbb{R} \) (topologicamente è una circonferenza).
(1) Se è falso il rango può assumere altri valori, quali? Sai fare degli esempi di matrici \(2\times2\) con determinante uguale a zero e con rango di quel valore?
(2) Se sono linearmente dipendenti allora esiste una composizione lineare dei due vettori che dia come risultato il vattore \((0,0)\). Scrivila.
(3) Che dimensione ha quel sottospazio? Sai esplicitarne una base?
(4) Se scrivi che è vero immagino tu abbia calcolato il prodotto scalare dei due.
(5) Perché è falso? Cita i teoremi corrispondenti.
(6) Perché è vero? Cita i teoremi corrispondenti.
e così via. Insomma hai capito il principio.
Riguardo la (8) non so cosa intenda per lineare per un certo valore. Immagino voglia dire che è lineare in generale.
Nella (10), con \(\displaystyle N \) intendi \(\displaystyle \mathbb{N} \), l'insieme dei numeri interi non-negativi? Il quoziente è riferito a che equivalenza? Perché nel modo in cui lo intendo io in genere, direi che la (10) è falsa: ha la caldinalità di \(\displaystyle \mathbb{R} \) (topologicamente è una circonferenza).
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