Domande su autovettori ed autovalori.

[balnazzar]

Sia $L$ un autovalore; sussite la nota: $Av=Lv$.
Ed anche: $(A-LI)v=0$.
Con $v$ e $0$ vettori, e $I$ l'id. di ordine $n$.

Alcune cose non mi sono proprio chiare, ad esempio:

1) Diciamo che $A$ rappresenta un operatore che deforma lo spazio
ambiente in un modo qualsiasi. $LI$ e' una omotetia uniforme dello
spazio.
Qual'e' il significato geometrico di $A-LI$? Cioe', se prendo una
trasformazione quadrata qualsiasi e vi sottraggo una omotetia, cosa
succede?

2) Gli autovettori della trasformazione $A$ generano il kernel della
trasformazione $A-LI$. Come mai succede questo?
Cioe', i vettori che non cambiano direzione nella traformazione $A$,
costituiscono una base per lo spazio che contiene tutti i vettori che
vengono mappati in $0$ dalla trasformazione $A-LI$. Mi pare curioso!

Grazie.

[mod="Alexp"]
Ho provveduto a correggere le formule, sei pregato però di imparare a scriverle correttamente.
[/mod]

[Dorian1]

1) Niente di particolare, ottieni una nuova trasformazione dello spazio;

2)

i vettori che non cambiano direzione nella traformazione A,
costituiscono una base per lo spazio che contiene tutti i vettori che
vengono mappati in 0 dalla trasformazione A-LI.

Non è vero... Casomai detti vettori generano il sottospazio contenente i vettori mappati in zero da $A-LI$ (meglio noto con il nome $Ker(A-LI)$ )

Mi pare curioso!

La cosa non mi sembra così controintuitiva... Se $v$ è autovettore di autovalore $L$, dall'identità $(A - LI)v = 0$ segue, per distributività:

$Av - LIv = 0$

chiaramente $Av$ e $LIv$ sono lo stesso vettore ($v$ è autovettore di autovalore $L$ sia per $A$ che per $LI$) e mettere il " $-$ " corrisponde ad "invertire la direzione" del vettore $LIv$.

[balnazzar]

Uhm, capisco.

Grazie mille per la risposta.