Domande dubbio di teoria

[indovina]

Ho dei dubbi su delle definizioni di teoria.
Non ho capito alcune cose:

1) Cosa significa che l'applicazione nulla è lineare?

2) Come faccio a dire che in una matrice con determinante diverso da 0 esiste l'HOM?

3) Un endomorfismo di E altro non è che l'omomorfismo di E su se stesso?

4) Se f appartiene and un endomorfismo biunivoco, è per definizione un AUTOMORFISMO?

grazie in anticipo.
(scusate se sono domande banali, ma ho dei dubbi e vorrei capire queste cose)

[cirasa]

1) Se denoti con $f_0$ l'applicazione nulla, significa che $f_0(v+w)=f_0(v)+f_0(w)$ e $f_0(av)=af_0(v)$ per ogni $v,w$ nello spazio vettoriale di partenza e per ogni $a$ nel campo. Come tutte le applicazioni lineari fra spazi vettoriali, per definizione di applicazione lineare.
2) Non capisco. Forse intendi dire che ad ogni matrice $A\in M_{n,m}(K)$ puoi associare l'applicazione lineare $f_A: x\in K^m\mapsto Ax\in K^n$ ?
3) Sì.
4) Ho capito cosa vuoi dire, ma dovresti esprimerti meglio. Se $f$ è un endomorfismo biunivoco di uno spazio vettoriale $E$ è, per definizione, un automorfismo di $E$.

[indovina]

2) Praticamente è un esercizio
ho 3 vettori li metto in forma matriciale.
Calcolo il determinate. E' diverso da 0.
La prima domanda dell'esercizio è : Dire se esiste l'Hom

[cirasa]

Continuo a non capire.
Che caratteristiche deve avere l'omomorfismo di cui si chiede di dimostrare o confutare l'esistenza?
Cosa centrano i tre vettori con l'omomorfismo? Non è possibile che la traccia dell'esercizio sia questa.

[indovina]

Dati tre vettori :
$u = (-1,0,2)$
$v=(0,1,1)$
$c=(2,-2,0)$

f(u)=....................
f(v)=...................
f(w)= ..................
Il determinate è diverso da 0.
1) Dire se esiste l'Hom
2)Trovare Imf e Kerf.

[cirasa]

Il determinante, come dici tu, è diverso da $0$. Significa che $u$,$v$,$c$ sono linearmente indipendenti. Sono in uno spazio vettoriale di dimensione $3$, quindi formano una base.
Ora, come tu ben saprai, per definire un omomorfismo, è sufficiente sapere come agisce sui vettori di una base.
Se sai come agisce sui vettori $u$, $v$, $c$, allora sai anche chi è l'omomorfismo $f$.
Praticamente se, al posto dei puntini, nella tua traccia hai tre vettori di un qualsiasi spazio vettoriale $V$, allora esiste un unico omomorfismo $f:RR^3\to V$ tale che
$f(u)=......$
$f(v)=......$
$f(c)=.......$

P.S. Bastava scrivere meglio la traccia e avrei capito cosa mi stavi chiedendo. In ogni caso non ho visto i tuoi tentativi per cercare di risolvere l'esercizio. Come vedi, per rispondere alla prima domanda, bastava conoscere solo la teoria...

[indovina]

Ecco, ora ho capito.
Lo sapevo che fosse di teoria, ma non riuscivo a spiegarlo a parole semplici.
Inoltre io ho calcolato il rango di questa matrice:

$((-1,0,2),(0,1,1),(2,-2,0))$

Il rango minimo è 1.
Faccio l'orlato al minore non nulla e il determinante è diverso da 0.
Quindi, il rango è $2$.
Poi dato che la $DIM Im f$ è uguale al rango della matrice, vuol dire che DIM Imf = 2

La dimensione di V sembra essere proprio 3.
Uso la formula delle dimensioni per trovarmi la DIM Kerf
$DIM V=DIM(kerf) +DIM(Imf)$
$Dim(kerf) = 1$

Va bene questo ragionamento?

[cirasa]

Ehm...no. Forse non mi sono spiegato molto bene. Il risultato che ho utilizzato è il seguente:
Siano $V$, $W$ spazi vettoriali. Sia $(v_1,...,v_n)$ una base di $V$ e $w_1,...,w_n\in W$. Allora esiste un unico omomorfismo $f:V\to W$ tale che $f(v_i)=w_i$ per ogni $i=1,...,n$.

Nel tuo caso:
$V=RR^3$ spazio vettoriale di dimensione $3$.
La base di $RR^3$ è $(u,v,c)$. E' base perchè si tratta di tre vettori linearmente indipendenti in $RR^3$. (Tra parentesi, devi studiare molto meglio il metodo dei minori orlati per il calcolo del rango. La matrice a cui ti riferisci ha determinante non nullo, quindi il suo rango è $3$ e non $2$ come dici tu)
Per definire un omomorfismo $f$ devi capire:
1) Qual è lo spazio di arrivo (quello che prima ho chiamato $W$);
2) Quali sono le immagini di $u,v,c$.
Se queste immagini sono date (per capirci meglio, quelle che nel teorema ho chiamato $w_1,...,w_n$), allora è definito $f$.

In altre parole, copia per bene la traccia! Cosa c'è al posto di quei puntini? Vettori? Di che spazio?
Tu dici: "Dire se esiste l'Hom". Di che omomorfismo $f$ si tratta? Qual è lo spazio di arrivo? Questo -ci metto la mano sul fuoco- sarà detto nella traccia, ma tu non l'hai scritto...

Detto questo, l'immagine di $f$ ha dimensione pari a $dim\ $. La dimensione del nucleo di $f$ puoi calcolarla con la formula delle dimensioni.

[indovina]

Le immagini di arrivo, ovvero quelle su i puntini sono:

$f(u)=(1,0,1)$
$f(v)=(2,0,2)$
$f(c)=(-1,1,3)$

Secondo la formula per trovare le dimensioni allora è:
Dim V = Dim Ker f + Dim Im f
Dim V = 3
Dim Ker f = x
Dim Im f = 3 (perchè è uguale al rango)
Dunque, Dim Ker f = 0

Oppure dato che Dim immagine di f : $$ è solo 1 ?
E' cosi?

Inoltre ho notato che nei vettori di arrivo
succede che f(v) = 2 f(u)
dunque si ha f( v - 2 u) = 0
Serve a qualcosa questa mia osservazione?
Forse per scrivere l'equazione della matrice f nella base u,v,w e poi in quella della base standard?

[cirasa]

"clever":Dim Im f = 3 (perchè è uguale al rango)

Perchè dici che $dim\ Im\ f=3$? Il fatto che $u,v,c$ siano linearmente indipendenti (cioè la matrice delle componenti di $u,v,c$ rispetto alla base canonica di $RR^3$ abbia rango $3$) non centra assolutamente niente con l'immagine di $f$!

"clever":Le immagini di arrivo, ovvero quelle su i puntini sono:

$f(u)=(1,0,1)$
$f(v)=(2,0,2)$
$f(c)=(-1,1,3)$
...
Oppure dato che Dim immagine di f : $$ è solo 1 ?

Dalla teoria, se $f:RR^3\to RR^3$ è un omomorfismo, visto che $(u,v,c)$ è una base di $RR^3$, allora $Im\ f=\ =<(1,0,1),(2,0,2),(-1,1,3)>$
Come si calcola la dimensione di questo spazio? E' il numero di vettori linearmente indipendenti fra $f(u),f(v),f(c)$ cioè il rango della matrice
$((1,0,1),(2,0,2),(-1,1,3))$
Calcola il rango di questa matrice e scoprirai qual è $dim\ Im\ f$. Poi $dim\ ker\f =3-dim\ Im\ f$.

[indovina]

Quindi dovevo calcolare il rango della matrice composta dai vettori d'arrivo
Che stupido che sono.

Allora.
Il determinante di questa matrice, è 0
E' degenere.
Il rango minimo è 1
Il rango massimo è 3.
Il rango è 1.

Dim ker f = 3 -1 = 2.

Giusto?

[cirasa]

Il rango della matrice
$B=((1,0,1),(2,0,2),(-1,1,3))$
non è $1$.
E' degenere, quindi non ha rango $3$, cioè $rank(B)<3$.
C'è un minore non nullo di ordine $1$, quindi $rank(B)\ge 1$.
Controllo tutti i minori di ordine $2$ orlati del minore di ordine $1$ precedente. Ce n'è uno non nullo. Quindi $rank(B)\ge 2$.

In definitiva $rank(B)=2$.

Mi permetto di consigliarti di rivedere il metodo dei minori orlati per il calcolo del rango di una matrice (detto anche teorema di Kronecker).

[indovina]

Vero.
C'è uno orlato con determinante diverso da zero.
Stupidamente non ho visto.