Domande di comprensione
Ciao a tutti mi sto accingendo a ristudiare geometria e alcune cose non mi sono molto chiare. Mi sono fatto degli appunti su cosa chiedere qui sul forum dopo averlo già visitato molte volte in cerca di risposte e avendo visto che è molto utile. Nonostante ciò però mi rimangono ancora dei dubbi che il mio libro di testo non mi ha risolto (beh magari sono io ottuso eheheh). Ovviamente ringrazio in anticipo chi vorrà aiutarmi rispondendo anche soo a qualche domanda. Ma veniamo al dunque. Le domande sono queste:
1) Dato ad es. unsottospazio vettoriale $W={(x,y,z) in RR^3 , x=y+z}$ si vede che esso è un sottospazio e ce ogni suo elemento è combinazione lineare di $v=(1,0,0)$,$q=(0,1,0)$ e $r=(0,0,1)$. Nel testo mi dice che questi non sono generatori perchè v non appartiene a W. Il fatto che non appartiene deriva dal fatto che non è nella forma $x=y+z$? Se è così quindi anche q ed r non vi appartengono giusto?
2) In questo esercizio siamo in $RR^4$ e si vuole calcolare la dimensione del sottospazio W generato dai vettori $(1,1,2,1)$,$(2,1,0,3)$,$(4,4,1,0)$. Imposto la matrice mettendo questi come righe e riduco ottenendo:
$W=((1,1,2,1),(2,1,0,3),(-7,0,0,-22))$.
Questi 3 vettori altro non sono che una base dello spazio di W, sottospazio di $RR^4$. Ma la dimensione di uno spazio non è data dal numero dei vettori che compongono una base? Un sottospazio di $RR^4$ non dovrebbe avere dimensione 4?
Correlata a questa domanda possono due vettori di $RR^3$ quali ad es $(1,1,2)$ e $(2,1,0)$ generare uno spazio $RR^3$? Non dovrebbero almeno essere 3 vettori?
3) Il vettore nullo può essere una base di uno spazio o di un sottospazio? E quando si tratta del Kerf?
4) Il vettore nullo può essere un generatore?
5) Solo le matrici quadrate sono invertibili?
6) Perchè per vedere se una matrice è diagonalizzabile bisogna considerare il prodotto $P=(P^(-1))A$?
7) Per studiare le coniche e operare il cambio di coordinate: perchè una volta trovati gli autovettori essi vanno normalizzati? E perchè inseriti come colonne nella matrice P?
8) C'è un teorema che dice che per trovare l'asse della parabola bisogna ricordare che esso è parallelo all'autospazio di $\phi$ corrispondente all'autovalore nullo (però un esercizio me lo risolve considerando quello non nullo...). Se b=0 basta una traslazione altrimenti l'asse è parallelo alla retta $ax+by=0$. Perchè tutto questo? come fa a dire che è parallelo all'autospazio ecc....?
Per chi ha avuto la voglia di leggere tutto ciò dico grazie e per chi mi farà il favore di rispondere ovviamente il grazie è immenso.
Ciao a tutti.
1) Dato ad es. unsottospazio vettoriale $W={(x,y,z) in RR^3 , x=y+z}$ si vede che esso è un sottospazio e ce ogni suo elemento è combinazione lineare di $v=(1,0,0)$,$q=(0,1,0)$ e $r=(0,0,1)$. Nel testo mi dice che questi non sono generatori perchè v non appartiene a W. Il fatto che non appartiene deriva dal fatto che non è nella forma $x=y+z$? Se è così quindi anche q ed r non vi appartengono giusto?
2) In questo esercizio siamo in $RR^4$ e si vuole calcolare la dimensione del sottospazio W generato dai vettori $(1,1,2,1)$,$(2,1,0,3)$,$(4,4,1,0)$. Imposto la matrice mettendo questi come righe e riduco ottenendo:
$W=((1,1,2,1),(2,1,0,3),(-7,0,0,-22))$.
Questi 3 vettori altro non sono che una base dello spazio di W, sottospazio di $RR^4$. Ma la dimensione di uno spazio non è data dal numero dei vettori che compongono una base? Un sottospazio di $RR^4$ non dovrebbe avere dimensione 4?
Correlata a questa domanda possono due vettori di $RR^3$ quali ad es $(1,1,2)$ e $(2,1,0)$ generare uno spazio $RR^3$? Non dovrebbero almeno essere 3 vettori?
3) Il vettore nullo può essere una base di uno spazio o di un sottospazio? E quando si tratta del Kerf?
4) Il vettore nullo può essere un generatore?
5) Solo le matrici quadrate sono invertibili?
6) Perchè per vedere se una matrice è diagonalizzabile bisogna considerare il prodotto $P=(P^(-1))A$?
7) Per studiare le coniche e operare il cambio di coordinate: perchè una volta trovati gli autovettori essi vanno normalizzati? E perchè inseriti come colonne nella matrice P?
8) C'è un teorema che dice che per trovare l'asse della parabola bisogna ricordare che esso è parallelo all'autospazio di $\phi$ corrispondente all'autovalore nullo (però un esercizio me lo risolve considerando quello non nullo...). Se b=0 basta una traslazione altrimenti l'asse è parallelo alla retta $ax+by=0$. Perchè tutto questo? come fa a dire che è parallelo all'autospazio ecc....?
Per chi ha avuto la voglia di leggere tutto ciò dico grazie e per chi mi farà il favore di rispondere ovviamente il grazie è immenso.
Ciao a tutti.
Risposte
Un'ultima cosa, il numero minimo di vettori che generano sono uguali alla dimensione dello spazio? Cioè nel caso di W esso è un sottospazio di $RR^3$ di dimensione 2, quindi i suoi generatorei potranno solo essere maggiori o uguali a 2? e nel caso siano uguali a 2 sono una base giusto? Infine vettori aventi 3 elementi, possono solamente generare sottospazi di $RR^3$ (che avranno dim=1 o dim=2) e mai un $RR^2$ o un $RR$ giusto? Perchè comunque sono vettori di 3 elementi e non coppie (quindi di $RR^2$) o singoli elementi (quindi di $RR^1$)....ditemi solo se ho capito bene oppure no! Thanks!!!
PS Sergio sei un grande!!!! Ho letto la guida ed è fatta veramente bene! Era solo un appunto, dato che non è il luogo...comunque...GRANDE!!!
PS Sergio sei un grande!!!! Ho letto la guida ed è fatta veramente bene! Era solo un appunto, dato che non è il luogo...comunque...GRANDE!!!
Ok ora penso di aver compreso. Per quanto riguarda le domande 6-7-8 nessuno mi sa aiutare? Inoltre nella 6 ho sbagliato a scrivere me ne sono accorto solo ora: la domanda è: una matrice è diagonalizzabile se può attaverso una data trasformazione trasformarsi in una matrice diagonale; tale trasformazione è data dal prodotto $P^-1AP=D$ dove D è la matrice diagonale. Perchè la trasformazione necessita del prodotto di A (che è la nostra matrice), prima per $P^-1$ e poi per P; cioè perchè considera proprio questo prodotto? Spero di essermi spiegato chiaramente... Per le domande 7-8 nessuno?
un'altra cosa: l'intersezione di due sottospazi è sempre un sottospazio? Sia nel caso positivo che in quello negativo, potete farmi qualche esempio?
la somma di due sottospazi è sempre un sottospazio? Ovviamente anche quì potete farmi qualche esempio?
Infine l'unione è sempre un sottospazio? Inutile dirvelo...esempi
Grazie ancora
la somma di due sottospazi è sempre un sottospazio? Ovviamente anche quì potete farmi qualche esempio?
Infine l'unione è sempre un sottospazio? Inutile dirvelo...esempi
Grazie ancora
Sì l'intersezione di due sottospazi è sempre un sottospazio. Nell'unione questo generalmente non è vero. Considera il vettore $v=(2,1,0)$ e il vettore $u=(1,1,1)$ e considera la loro somma $(3,2,1)$ questo vettore non è proporzionale a nessuno dei due spazi e quindi non vi appartiene!
Mentre la somma di due sottospazi è sempre un sottospazio vettoriale. Prendi gli stessi vettori $+$ di prima e considera, per la caratterizzazione dei sottospazi $ax+by$ con $x,y in+$ $x=(3,2,1),y=(1,0,-1)$. Per semplicità prendo $a=b=1$ abbiamo il vettore $(4,2,0)$. Ed è evidente che questo appartiene ancora a $+$.
Mentre la somma di due sottospazi è sempre un sottospazio vettoriale. Prendi gli stessi vettori $+
Ok capito tutto!!! Grazie grazie e ancora grazie!!!
di nulla!
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