Domande Algebra Lineare

[lazza2]

In uno spazio vettoriale di dimensione 6, si dica quali delle seguenti frasi sono vere:
- a esistono esattamente 6 basie e hanno tutte 6 vettori
- b esistono infinite basi e hanno tutte 6 vettori
- c tutte le basi hanno almento 6 vettori, ma ce ne sono che ne hanno di più
- d dati 3 vettori linearmente indipendenti, esistono infinite basi che li contengono
- e 6 vettori non proporzionali sono una base
- f ogni famiglia di 8 vettori è linearmente indipendente
- g ogni famiglia di generatori è formata da almeno 7 vettori
- h esistono famiglie di generatori fatte da 8 vettori

[_Tipper]

-a esistono infinite basi

-b vera (ovviamente i sei vettori devono essere linearmente indipendenti)

-c tutte le basi hanno esattamente 6 vettori, dato che la dimensione è la cardinalità della base, e la base è un insieme che ha la proprietà di essere generante minimale e indipendente massimale

-d ovvio

-e no, questo è vero solo per una base di uno spazio di dimensione $2$

-f no, se lo spazio è di dimensione $6$, ogni famiglia di $8$ vettori appartenente a tale spazio è linearmente dipendente

-g no, da $6$

-h daje

[lazza2]

"Tipper":-a esistono infinite basi


-c tutte le basi hanno esattamente 6 vettori, dato che la dimensione è la cardinalità della base, e la base è un insieme che ha la proprietà di essere generante minimale e indipendente massimale

Perciò dato uno spazio vettoriale con V con $dimV$ = $n$ ogni sua base ha dimensione n.
Le basi di un qualsiasi spazio vettoriale sono sempre infinite o ci sono dei casi particolari?

[_Tipper]

"lazza":Perciò dato uno spazio vettoriale con V con $dimV$ = $n$ ogni sua base ha dimensione n.

Ogni base contiene esattamente $n$ vettori linearmente indipendenti.

"lazza":Le basi di un qualsiasi spazio vettoriale sono sempre infinite o ci sono dei casi particolari?

Se $(v_1, v_2, \ldots, v_k)$ è una base di un sottospazio, allora anche $(a_1 v_1, a_2 v_2, \ldots, a_k v_k)$ è una base, con $a_1, a_2, \ldots, a_k$ costanti arbitrarie non nulle.