Domanda sulle matrici.
Salve a tutti, vorrei farvi una domanda sull'insieme delle matrici m×n Mm×n.Volevo sapere se è uno spazio vettoriale cioè se valgono le 8 proprietà richieste.A lezione il docente ha dimostrato quelle relative alla somma.Valgono anche quelle per il prodotto esterno? Cio proprietà distributive, proprietà del prodotto per un numero e l'elemnto neutro?
Volevo chiedervi anche un'altra cosa.
$f:R^2 -> R^2$
$f(x,y) = (2x,x+y)$
La matrice associata a questa applicazione lineare ha 2 e 1 nella prima colonna e 0 e 1 nella seconda colonna. Perchè ha scelto la base canonica del dominio.Invece come base per il codominio non prende quella canonica vero? Perchè altrimenti sarebbe per esempio $f(x,y) = (x+y,2x+y)$ giusto?Grazie tante.
Volevo chiedervi anche un'altra cosa.
$f:R^2 -> R^2$
$f(x,y) = (2x,x+y)$
La matrice associata a questa applicazione lineare ha 2 e 1 nella prima colonna e 0 e 1 nella seconda colonna. Perchè ha scelto la base canonica del dominio.Invece come base per il codominio non prende quella canonica vero? Perchè altrimenti sarebbe per esempio $f(x,y) = (x+y,2x+y)$ giusto?Grazie tante.
Risposte
Si lo è.
Diciamo che la dimostrazione è abbastanza noiosa, ma alla fine devi solo verificare uguaglianze.
La domanda posta non è ben chiara. L’applicazione è definita da $f(x,y)=(2x,x+y)$?
Diciamo che la dimostrazione è abbastanza noiosa, ma alla fine devi solo verificare uguaglianze.
La domanda posta non è ben chiara. L’applicazione è definita da $f(x,y)=(2x,x+y)$?
Si, mi chiedevo se per costruire la matrice associata alla prima applicazione ha fatto riferimento alla base canonica del dominio ($R^2$) e codominio ($R^2$) ma mentre per il dominio è ovvio che lo abbia fatto per il codominio a me sembra di no .Ho scritto poi un'altra applocazione per fare una sorta di controesempio (applicazione in cui si considera la base canonica del codominio.Confermi?Grazie per aver risposto alla prima domanda.
Riguardo alle basi canoniche di, la matrice rappresentativa è $((2,0),(1,1))$.
Ma non capisco quale sia la seconda matrice di cui parli. È chiaro che se cambi base la matrice cambia
Ma non capisco quale sia la seconda matrice di cui parli. È chiaro che se cambi base la matrice cambia
Se non ho capito male la matrice associata ad una applicazione si costruisce prendendo una base del dominio e una del codominio.Per costruire la matrice scritta da te sopra (è un esempio trovato su un vecchio libro) mi dice che ha considerato la base canonica del dominio e quella canonica del codominio (che poi sono le stesse) ma mentre per il dominio è ovvio, non capisco che ruolo ha la base canonica del codominio.
Prima di ‘espormi’, hai ben chiaro come si costruisca la matrice associata?
L'ho studiato oggi quindi può essere che non abbia capito bene.Quindi a quanto pare mi scelgo una base del dominio (in questo caso quella canonica) ne calcolo l'immagine e mi scrivo la matrice associata a quell'applicazione?
Non proprio.
Siano $V,W$ due $K$ spazi di dimensione $n,m$ e sia $L:V->W$ applicazione lineare.
Fissiamo $B={v_1,..,v_n}$ e $B’={w_1,..,w_m}$
Il fatto di base è di sfruttare le proprietà di una applicazione lineare per poter scrivere il tutto in funzione di componenti.
Ora vediamo dove intervengono le singole parti.
Per $v in Vexists!w inW:L(v)=w$ e fino a quì ci siamo.
Successivamente poiché $B,B’$ sono basi, possiamo riscrivere $v,w$ rispetto alle basi dei propri spazi.
$v=x_1v_1+...+x_nv_n$ e $w=y_1w_1+...+y_mw_m$
Da questo otterremo subito che da $L(v)=w$ possiamo passare a $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=y_1w_1+...+y_mw_m$ e quindi alla fine si arriva a $x_1L(v_1)+...+x_nL(v_n)=y_1w_1+...+y_mw_m$
Fino a quì abbiamo soltanto fatto tre cose:
- riscritto $v$ rispetto alla base $B$
- riscritto $w$ rispetto alla base $B’$
- usato le proprietà della applicazione lineare
Ma ancora possiamo ridurre qualcosa, no? vogliamo togliere del tutto qualsiasi scrittura che abbia a che fare con $L$ quindi sappiamo che $v_j$ vettori della base di $V$ hanno immagini $L(v_j) inW$ e quindi potremmo scriverli in funzione della base di $W$ ovvero $L(v_j)=a_(1j)w_1+...+a_(mj)w_m$ per ogni $j=1,..,n$
NOTA
non farti confondere dagli indici.
Io ho usato il primo indice che segue i vettori della base di $W$ e il secondo indice $j$ che varia con i vettori della base di $V$. Una volta fissato l’ordine degli indici, che puoi anche considerare al contrario, ti servono solo per individuare a quali vettori sono legati. Per esempio il coefficiente $a_(34)$ per esempio individua due cose
- il $3$ individua che fa parte dell’immagine $L(v_3)$
- il $4$ individua che il coefficiente è accompagnato da $w_4$
In notazione compatta la cosa di sopra si scrive $L(v_j)=sum_(k=1)^(m)a_(kj)w_k$
Mentre quella ancora prima $sum_(j=1)^(n)x_jL(v_j)=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$
Nota inoltre che $sum_(j=1)^(n)x_jL(v_j)=sum_(j=1)^(n)L(x_jv_j)$
Se hai già familiarizzato con questa notazione compatta, sei a cavallo, altrimenti ti conviene imparare perché in algebra lineare si usano molto spesso queste notazioni.
Comunque da $sum_(j=1)^(n)x_jL(v_j)=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$ sostituendo $L(v_j)=sum_(k=1)^(m)a_(kj)w_k$ si ottiene subito che $sum_(j=1)^(n)x_j[sum_(k=1)^(m)a_(kj)w_k]=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$ che in forma estesa sarà
[size=130]$x_1(a_(11)w_1+..+a_(m1)w_m)+..+x_n(a_(1n)w_1+..+a_(mn)w_m)=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$[/size]
Sviluppando i prodotti e raccogliendo ‘vettore a vettore’ ottieni
[size=130]$w_1(x_1a_(11)+..+x_na_(1n))+..+w_m(x_1a_(m1)+..+x_na_(mn))=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$[/size]
Poiché i vettori sono linearmente indipendenti allora la scrittura deve essere unica e quindi puoi uguagliare tutti gli scalari che accompagnano i vettori, ovvero
$x_1a_(j1)+..+x_na_(jn)=y_j$ per tutti i $j=1,..,n$
Da cui ti trovi un sistema lineare e quindi lo vedi in forma matriciale $AX=Y$
Quindi la matrice associata a un omomorfismo si ottiene mettendo in colonna le componenti delle immagini dei vettori della base in entrata rispetto a quella della base in uscita.
Quindi il codominio intervenire per le combinazioni lineari e per arrivare alla fine a fare quella considerazione sull’uguagliare le componenti.
Siano $V,W$ due $K$ spazi di dimensione $n,m$ e sia $L:V->W$ applicazione lineare.
Fissiamo $B={v_1,..,v_n}$ e $B’={w_1,..,w_m}$
Il fatto di base è di sfruttare le proprietà di una applicazione lineare per poter scrivere il tutto in funzione di componenti.
Ora vediamo dove intervengono le singole parti.
Per $v in Vexists!w inW:L(v)=w$ e fino a quì ci siamo.
Successivamente poiché $B,B’$ sono basi, possiamo riscrivere $v,w$ rispetto alle basi dei propri spazi.
$v=x_1v_1+...+x_nv_n$ e $w=y_1w_1+...+y_mw_m$
Da questo otterremo subito che da $L(v)=w$ possiamo passare a $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=y_1w_1+...+y_mw_m$ e quindi alla fine si arriva a $x_1L(v_1)+...+x_nL(v_n)=y_1w_1+...+y_mw_m$
Fino a quì abbiamo soltanto fatto tre cose:
- riscritto $v$ rispetto alla base $B$
- riscritto $w$ rispetto alla base $B’$
- usato le proprietà della applicazione lineare
Ma ancora possiamo ridurre qualcosa, no? vogliamo togliere del tutto qualsiasi scrittura che abbia a che fare con $L$ quindi sappiamo che $v_j$ vettori della base di $V$ hanno immagini $L(v_j) inW$ e quindi potremmo scriverli in funzione della base di $W$ ovvero $L(v_j)=a_(1j)w_1+...+a_(mj)w_m$ per ogni $j=1,..,n$
NOTA
non farti confondere dagli indici.
Io ho usato il primo indice che segue i vettori della base di $W$ e il secondo indice $j$ che varia con i vettori della base di $V$. Una volta fissato l’ordine degli indici, che puoi anche considerare al contrario, ti servono solo per individuare a quali vettori sono legati. Per esempio il coefficiente $a_(34)$ per esempio individua due cose
- il $3$ individua che fa parte dell’immagine $L(v_3)$
- il $4$ individua che il coefficiente è accompagnato da $w_4$
In notazione compatta la cosa di sopra si scrive $L(v_j)=sum_(k=1)^(m)a_(kj)w_k$
Mentre quella ancora prima $sum_(j=1)^(n)x_jL(v_j)=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$
Nota inoltre che $sum_(j=1)^(n)x_jL(v_j)=sum_(j=1)^(n)L(x_jv_j)$
Se hai già familiarizzato con questa notazione compatta, sei a cavallo, altrimenti ti conviene imparare perché in algebra lineare si usano molto spesso queste notazioni.
Comunque da $sum_(j=1)^(n)x_jL(v_j)=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$ sostituendo $L(v_j)=sum_(k=1)^(m)a_(kj)w_k$ si ottiene subito che $sum_(j=1)^(n)x_j[sum_(k=1)^(m)a_(kj)w_k]=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$ che in forma estesa sarà
[size=130]$x_1(a_(11)w_1+..+a_(m1)w_m)+..+x_n(a_(1n)w_1+..+a_(mn)w_m)=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$[/size]
Sviluppando i prodotti e raccogliendo ‘vettore a vettore’ ottieni
[size=130]$w_1(x_1a_(11)+..+x_na_(1n))+..+w_m(x_1a_(m1)+..+x_na_(mn))=sum_(k=1)^(m)y_kw_k$[/size]
Poiché i vettori sono linearmente indipendenti allora la scrittura deve essere unica e quindi puoi uguagliare tutti gli scalari che accompagnano i vettori, ovvero
$x_1a_(j1)+..+x_na_(jn)=y_j$ per tutti i $j=1,..,n$
Da cui ti trovi un sistema lineare e quindi lo vedi in forma matriciale $AX=Y$
Quindi la matrice associata a un omomorfismo si ottiene mettendo in colonna le componenti delle immagini dei vettori della base in entrata rispetto a quella della base in uscita.
Quindi il codominio intervenire per le combinazioni lineari e per arrivare alla fine a fare quella considerazione sull’uguagliare le componenti.
Ciao, grazie per la spiegazione potresti farmi un esempio di come la base del codominio interviene nell'applicazione scritta da me inizialmente?
$f(x,y)=(2x,x+y)$
Considera le basi $B={(1,1),(1,0)}$ del dominio e $B={(0,1),(1,-1)}$
$f(1,1)=(2,2)=4(0,1)+2(1,-1)$
$f(1,0)=(2,0)=2(0,1)+2(1,-1)$
Quindi la matrice sarà $((4,2),(2,2))$
Considera le basi $B={(1,1),(1,0)}$ del dominio e $B={(0,1),(1,-1)}$
$f(1,1)=(2,2)=4(0,1)+2(1,-1)$
$f(1,0)=(2,0)=2(0,1)+2(1,-1)$
Quindi la matrice sarà $((4,2),(2,2))$
Grazie mille,adesso ho capito.
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