Domanda sui sottospazi
Buonasera a voi utenti,
Spero di avere un vostro aiuto e come consigliava il moderatore apro un nuovo thread, avevo risposto in una vecchia discussione e mi scuso..
In un esercizio che stavo svolgendo si considerava un sottospazio (o meglio, era da verificare lo fosse) dato da {A appartenenti a R di ordine n|tr(A)=0} intendendo con tr(A) la traccia di A.
Prendendo questo sottoinsieme di un Rn spazio vettoriale ho verificato con la chiusura rispetto alle operazioni solite il fatto che sia sottospazio. Però altresì noto che mi trovo per assurdo con più nulli, ovvero "tutte le matrici con 0 sulla diagonale principale sono un elemento nullo per questo sottospazio" Ma infrango oltre l'unicità del nullo il fatto che il nullo del sottoinsieme delle tracce con questa proprietà NON abbiano il nullo uguale a quello dello spazio originario Rn che è la matrice zero.
Spero di avere un vostro aiuto e come consigliava il moderatore apro un nuovo thread, avevo risposto in una vecchia discussione e mi scuso..
In un esercizio che stavo svolgendo si considerava un sottospazio (o meglio, era da verificare lo fosse) dato da {A appartenenti a R di ordine n|tr(A)=0} intendendo con tr(A) la traccia di A.
Prendendo questo sottoinsieme di un Rn spazio vettoriale ho verificato con la chiusura rispetto alle operazioni solite il fatto che sia sottospazio. Però altresì noto che mi trovo per assurdo con più nulli, ovvero "tutte le matrici con 0 sulla diagonale principale sono un elemento nullo per questo sottospazio" Ma infrango oltre l'unicità del nullo il fatto che il nullo del sottoinsieme delle tracce con questa proprietà NON abbiano il nullo uguale a quello dello spazio originario Rn che è la matrice zero.
Risposte
(Per prima cosa, sarebbe meglio se scrivessi le [formule][/formule] come si deve).
Ci sono varie imprecisioni in quello che scrivi. Lo spazio ambiente non è \(\mathbb R^n\) ma lo spazio vettoriale delle matrici reali di ordine \(n\times n\) (questo spazio si denota in genere \(M_n(\mathbb R)\) o \(\mathbb R^{n\times n}\)). In questo spazio vettoriale l'elemento nullo è la matrice con tutte le entrate pari a \(0\). E questo è anche l'elemento neutro del tuo sottospazio, l'unico.
Per esempio, secondo il tuo ragionamento la matrice \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) dovrebbe essere un elemento nullo del tuo sottospazio (nel caso \(n=2\)). Ma non è vero. Se così fosse, dovresti avere \(A+B=B\) per ogni matrice \(B\) nel tuo sottospazio, e non è così: ad esempio \(A+A\) è diverso da \(A\).
Ci sono varie imprecisioni in quello che scrivi. Lo spazio ambiente non è \(\mathbb R^n\) ma lo spazio vettoriale delle matrici reali di ordine \(n\times n\) (questo spazio si denota in genere \(M_n(\mathbb R)\) o \(\mathbb R^{n\times n}\)). In questo spazio vettoriale l'elemento nullo è la matrice con tutte le entrate pari a \(0\). E questo è anche l'elemento neutro del tuo sottospazio, l'unico.
Per esempio, secondo il tuo ragionamento la matrice \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) dovrebbe essere un elemento nullo del tuo sottospazio (nel caso \(n=2\)). Ma non è vero. Se così fosse, dovresti avere \(A+B=B\) per ogni matrice \(B\) nel tuo sottospazio, e non è così: ad esempio \(A+A\) è diverso da \(A\).
Mi scuso per le formule, e ringrazio per la risposta.
ho imparato le fondamentali di analisi, ma ora prendendo spunto dalla tua risposta imparo anche quelle per algebra lineare (rudimenti).
Per quanto dici hai ragione, ho sbagliato clamorosamente per quanto riguarda l'ordine che è n: \(n\times n\)
Tornando alla domanda: devo essermi spiegato male, il mio sottospazio è formato dalle matrici con traccia nulla, di ordine (facciamo come nel tuo esempio) 2. Ebbene, in effetti la matrice \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) mi pare proprio una che quando sommata a B con traccia nulla mi dà di nuovo una matrice con traccia nulla: è un elemento neutro per la somma.
ho imparato le fondamentali di analisi, ma ora prendendo spunto dalla tua risposta imparo anche quelle per algebra lineare (rudimenti).
Per quanto dici hai ragione, ho sbagliato clamorosamente per quanto riguarda l'ordine che è n: \(n\times n\)
Tornando alla domanda: devo essermi spiegato male, il mio sottospazio è formato dalle matrici con traccia nulla, di ordine (facciamo come nel tuo esempio) 2. Ebbene, in effetti la matrice \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) mi pare proprio una che quando sommata a B con traccia nulla mi dà di nuovo una matrice con traccia nulla: è un elemento neutro per la somma.
No! Quella che dici è la proprietà di "chiusura rispetto alla somma" di un sottospazio vettoriale: è richiesto che per ogni \(A\) e \(B\) appartenenti al sottospazio, \(A+B\) sia ancora un elemento del sottospazio. Essere elemento neutro è un'altra cosa. Pensa al ruolo dello \(0\) nel sistema additivo dei numeri interi. Quello è un elemento neutro rispetto alla somma, anzi, è il prototipo di elemento neutro.
Mhhh scusa la testardaggine ma mi sfugge qualcosa, ma non capisco cosa.
Il fatto è che se il mio sottospazio è il sottospazio per cui tutti gli elementi della diagonale sommati diano 0, vuol dire che gli elementi uguali tra loro sono quelli che hanno diagonale identica l'uno con l'altro, non importa il resto della matrice. A questo punto il nullo è quello che rende la diagonale sempre uguale e quindi è l'elemento che ha tutti zeri sulla diagonale, se poi in alto a destra l'elemento dopo la somma sarà diverso poco mi importa.
Capisco che il nullo per uno spazio di matrici debba essere una matrice tutta zero, questo perché sommando \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) a \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), per come è definita la somma mi darà: \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\).
Però nel sottospazio "tracce nulle", io devo guardarne solo la diagonale (che è quella da cui discende la traccia) e non mi importa della matrice in toto e \(A=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) mi pare benissimo una matrice "elemento null"o per questo sottospazio, poiché se la sommo a \(A=\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}\) mi darà \(A=\begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}\) e la diagonale principale me la lascia invariata \(A=\begin{bmatrix} 5 & x \\ x & 5 \end{bmatrix}\) .
In sostanza non capisco perché il nullo debba essere \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) anche in questo caso, dato che per definizione il nullo mi lascia l'elemento invariato e quella in esempio lascia il mio elemento (diagonale) invariata.
Grazie per le gentili risposte.
Il fatto è che se il mio sottospazio è il sottospazio per cui tutti gli elementi della diagonale sommati diano 0, vuol dire che gli elementi uguali tra loro sono quelli che hanno diagonale identica l'uno con l'altro, non importa il resto della matrice. A questo punto il nullo è quello che rende la diagonale sempre uguale e quindi è l'elemento che ha tutti zeri sulla diagonale, se poi in alto a destra l'elemento dopo la somma sarà diverso poco mi importa.
Capisco che il nullo per uno spazio di matrici debba essere una matrice tutta zero, questo perché sommando \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) a \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), per come è definita la somma mi darà: \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\).
Però nel sottospazio "tracce nulle", io devo guardarne solo la diagonale (che è quella da cui discende la traccia) e non mi importa della matrice in toto e \(A=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) mi pare benissimo una matrice "elemento null"o per questo sottospazio, poiché se la sommo a \(A=\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}\) mi darà \(A=\begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}\) e la diagonale principale me la lascia invariata \(A=\begin{bmatrix} 5 & x \\ x & 5 \end{bmatrix}\) .
In sostanza non capisco perché il nullo debba essere \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) anche in questo caso, dato che per definizione il nullo mi lascia l'elemento invariato e quella in esempio lascia il mio elemento (diagonale) invariata.
Grazie per le gentili risposte.
"marcopollo":Non c'è problema.
Mhhh scusa la testardaggine ma mi sfugge qualcosa, ma non capisco cosa.
STOP. È qui l'incomprensione. Scrivo la definizione del tuo sottospazio \(S\) in linguaggio formale:
Il fatto è che se il mio sottospazio è il sottospazio per cui tutti gli elementi della diagonale sommati diano 0, vuol dire che gli elementi uguali tra loro sono quelli che hanno diagonale identica l'uno con l'altro, non importa il resto della matrice.
\[
S= \{ A\in M_n(\mathbb R)\ :\ \mathrm{tr}(A)=0\}.
\]
Sei d'accordo che la definizione è questa? Se si, allora sarai d'accordo che la relazione \(A=B\) non è dipendente dal fatto che \(A\) e \(B\) siano in \(S\). Altra cosa sarebbe *un insieme quoziente* fatto rispetto alla relazione d'equivalenza
\[
A \sim B \quad \Leftrightarrow\quad \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B).
\]
Con questa definizione, il quoziente \(M_n(\mathbb R) / \sim\) è lo spazio vettoriale che dici tu.
Tutte queste considerazioni sono corrette nello spazio quoziente \(M_n(\mathbb R)/\sim\).
A questo punto il nullo è quello che rende la diagonale sempre uguale e quindi è l'elemento che ha tutti zeri sulla diagonale, se poi in alto a destra l'elemento dopo la somma sarà diverso poco mi importa.
Capisco che il nullo per uno spazio di matrici debba essere una matrice tutta zero, questo perché sommando \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) a \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), per come è definita la somma mi darà: \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\).
Però nel sottospazio "tracce nulle", io devo guardarne solo la diagonale (che è quella da cui discende la traccia) e non mi importa della matrice in toto e \(A=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) mi pare benissimo una matrice "elemento null"o per questo sottospazio, poiché se la sommo a \(A=\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}\) mi darà \(A=\begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}\) e la diagonale principale me la lascia invariata \(A=\begin{bmatrix} 5 & x \\ x & 5 \end{bmatrix}\) .
In sostanza non capisco perché il nullo debba essere \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) anche in questo caso, dato che per definizione il nullo mi lascia l'elemento invariato e quella in esempio lascia il mio elemento (diagonale) invariata.
Grazie per le gentili risposte.
Credo di aver compreso.
L'errore che facevo era quello di considerare gli elementi uguali del sottospazio che in realtà non erano uguali (intendevo come uguali quelli con traccia uguale e non quelli di "Matrice" uguale. Penso di aver capito grazie a te l'errore, se non sbaglio ancora.
Mi sorgono altri due dubbi:
1)Però, quando creo un sottospazio (o uno spazio) non dico mai quali sono gli elementi uguali. Cioè, cosa si intende per uguale? L'insieme che hai enunciato tu che rispetta la mia idea errata di uguaglianza ne è un esempio.
Si da, come fosse sottotraccia, che l'uguale è sempre quello di matrice uguale?
2)Inoltre seconda domanda che mi pongo: quell'insieme quoziente che ha relazione di similitudine è un sottospazio di quello di partenza? Parrebbe di si, perché chiuso rispetto alle operazioni solite, però il nullo in questo caso non coinciderebbe con quello iniziale a ben vedere..
Buona serata.
L'errore che facevo era quello di considerare gli elementi uguali del sottospazio che in realtà non erano uguali (intendevo come uguali quelli con traccia uguale e non quelli di "Matrice" uguale. Penso di aver capito grazie a te l'errore, se non sbaglio ancora.
Mi sorgono altri due dubbi:
1)Però, quando creo un sottospazio (o uno spazio) non dico mai quali sono gli elementi uguali. Cioè, cosa si intende per uguale? L'insieme che hai enunciato tu che rispetta la mia idea errata di uguaglianza ne è un esempio.
Si da, come fosse sottotraccia, che l'uguale è sempre quello di matrice uguale?
2)Inoltre seconda domanda che mi pongo: quell'insieme quoziente che ha relazione di similitudine è un sottospazio di quello di partenza? Parrebbe di si, perché chiuso rispetto alle operazioni solite, però il nullo in questo caso non coinciderebbe con quello iniziale a ben vedere..
Buona serata.
Non ti formalizzare eccessivamente. L'insieme quoziente è un concetto algebrico più avanzato, non perderci la testa adesso. Due matrici sono uguali se e solo se sono uguali tutte le rispettive entrate, e questo è tutto, nessuno ha mai detto di cambiare questa definizione.
In ogni caso, l'insieme quoziente non è mai un sottoinsieme dell'insieme originale, ma è sempre completamente un'altra cosa. Questo vale in totale generalità.
In ogni caso, l'insieme quoziente non è mai un sottoinsieme dell'insieme originale, ma è sempre completamente un'altra cosa. Questo vale in totale generalità.
Ho aspettato un po' di tempo prima di risponderti perché purtroppo seguendo anche analisi alterno lo studio.
Penso ora mi torni tutti e ti rignrazio.
Solo un'ultima curiosità, in questo caso la dimenisione di questo sottospazio è nxn giusto?
Non so perché ma questo sottospazio l'ho trovato un po' più ostico da digerire come avrai capito XD
Grazie ancora e buon sabato.
Penso ora mi torni tutti e ti rignrazio.
Solo un'ultima curiosità, in questo caso la dimenisione di questo sottospazio è nxn giusto?
Non so perché ma questo sottospazio l'ho trovato un po' più ostico da digerire come avrai capito XD
Grazie ancora e buon sabato.
La dimensione è un numero intero. Che significa \(n\times n\)? Se intendi \(n^2\) allora è no. Quella è la dimensione di tutto lo spazio ambiente \(M_n(\mathbb R)\). Per trovare la dimensione di questo sottospazio ti conviene usare il teorema di Rouché-Capelli. Quante equazioni definiscono il sottospazio?
Ehm sì, intendevo proprio $n^2$ per il sottospazio $S={A∈M n (R) : tr(A)=0}$
Il fatto è che il numero di vettori che compongono la base di quelle matrici è proprio $n^2$ e da definizione del libro il numero di vettori che compongono la base è la dimensione.
Il fatto è che il numero di vettori che compongono la base di quelle matrici è proprio $n^2$ e da definizione del libro il numero di vettori che compongono la base è la dimensione.
E no. Quella è la dimensione dello spazio totale. Ma tu hai imposto una equazione. Che dimensione ti aspetti, quindi, per lo spazio risultante?
Immagina il problema familiare di un sottospazio di \(\mathbb R^3\) descritto da una equazione lineare. Che dimensione ha tale sottospazio?
Queste cose sono importanti, questo è Rouché-Capelli.
Immagina il problema familiare di un sottospazio di \(\mathbb R^3\) descritto da una equazione lineare. Che dimensione ha tale sottospazio?
Queste cose sono importanti, questo è Rouché-Capelli.
Mi aspetterei una dimensione in meno, probabilmente. Nel senso che una è dipendente linearmente dalle altre.
Però non riesco bene a vederlo sinceramente, perché se avessi come dicevamo tale matrice \(A=\begin{bmatrix} -5 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\) che ha traccia nulla per descriverla avrò bisogno comunque di 4 vettori $ v_1=(1,0,0,0), v_2=(0,1,0,0), v_3=(0,0,1,0), v_4=(0,0,0,1)$. Infatti posso descriverla con questa combinazione lineare: $-5*v_1+1*v_2+2*v_3+5*v_4$.
Non riesco a vedere come quella condizione mi riduca i vettori per descrivermi la matrice in pratica
Però non riesco bene a vederlo sinceramente, perché se avessi come dicevamo tale matrice \(A=\begin{bmatrix} -5 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\) che ha traccia nulla per descriverla avrò bisogno comunque di 4 vettori $ v_1=(1,0,0,0), v_2=(0,1,0,0), v_3=(0,0,1,0), v_4=(0,0,0,1)$. Infatti posso descriverla con questa combinazione lineare: $-5*v_1+1*v_2+2*v_3+5*v_4$.
Non riesco a vedere come quella condizione mi riduca i vettori per descrivermi la matrice in pratica
"marcopollo":
Però non riesco bene a vederlo sinceramente, perché se avessi come dicevamo tale matrice \( A=\begin{bmatrix} -5 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \) che ha traccia nulla per descriverla avrò bisogno comunque di 4 vettori $ v_1=(1,0,0,0), v_2=(0,1,0,0), v_3=(0,0,1,0), v_4=(0,0,0,1) $. Infatti posso descriverla con questa combinazione lineare: $ -5*v_1+1*v_2+2*v_3+5*v_4 $.
Non riesco a vedere come quella condizione mi riduca i vettori per descrivermi la matrice in pratica
Intanto occorre precisare che base canonica di $M_2(RR)$ è la seguente
${( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 01 , 0 ),( 1, 0 ) ) ,( ( 0 , 0 ),( 0 ,1 ) ) }$
Una generica matrice $A in M_2(RR)$ è la seguente $ ( ( a , b ),( c , d ) ), AA a,b,c,d in RR $, la cui base è quella che ho scritto precedentemente.
L'esercizio chiede di considerare $V={A in M_2(RR) : tr(A)=0}$ pertanto una matrice appartenente a questo sottospazio è
$ ( ( a , b ),( c , -a ) ), AA a,b,c in RR $
Quindi una base di $V$ è...
Grazie mille per il vostro aiuto.
Ad esempio se avessi avuto una matrice 3x3 potrei impostare (ammettendo i termini a, b , c quelli che compongono la diagonale principale) a=-(b+c) e così arriverei ad avere proprio un termine che dipende dagli altri. Giusto?
Volevo chiedervi una cosa
Io sto studiando passo passo teoria, ma questa cosa proprio mi sfugge, l'ho intuito affrontando esercizi ma dove se ne parla sui libri di solito?
R.Capelli l'ho vito solo per i sistemi lineari e le matrici associate..
Ad esempio se avessi avuto una matrice 3x3 potrei impostare (ammettendo i termini a, b , c quelli che compongono la diagonale principale) a=-(b+c) e così arriverei ad avere proprio un termine che dipende dagli altri. Giusto?
Volevo chiedervi una cosa
"dissonance":
E no. Quella è la dimensione dello spazio totale. Ma tu hai imposto una equazione. Che dimensione ti aspetti, quindi, per lo spazio risultante?
Immagina il problema familiare di un sottospazio di \(\mathbb R^3\) descritto da una equazione lineare. Che dimensione ha tale sottospazio?
Queste cose sono importanti, questo è Rouché-Capelli.
Io sto studiando passo passo teoria, ma questa cosa proprio mi sfugge, l'ho intuito affrontando esercizi ma dove se ne parla sui libri di solito?
R.Capelli l'ho vito solo per i sistemi lineari e le matrici associate..
L'equazione
\[\tag{1}
\mathrm{tr}(A)=0\]
è esattamente questo: una equazione lineare. Se scrivi
\[
A=\begin{bmatrix} a_{i, j}\end{bmatrix}_{1\le i,j\le n}, \]
allora (1) si riscrive come
\[
a_{1,1}+a_{2,2}+\ldots+a_{n,n}=0.\]
Visto che è una equazione lineare? C'è da rifletterci un po' su ma sono riflessioni istruttive.
\[\tag{1}
\mathrm{tr}(A)=0\]
è esattamente questo: una equazione lineare. Se scrivi
\[
A=\begin{bmatrix} a_{i, j}\end{bmatrix}_{1\le i,j\le n}, \]
allora (1) si riscrive come
\[
a_{1,1}+a_{2,2}+\ldots+a_{n,n}=0.\]
Visto che è una equazione lineare? C'è da rifletterci un po' su ma sono riflessioni istruttive.
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