Domanda sugli spazi ortogonali

[gygabyte017]

Salve a tutti.

Ho la seguente matrice: $M_E(varphi)=((6,3,10),(3,0,7),(10,7,14))$ che è la matrice nel riferimento canonico di $RR^3$ di un prodotto scalare $varphi$.
Dato $W=$, devo trovare $W^(_|_)$ e controllare se $W$ e $W^(_|_)$ sono in somma diretta.

Allora per definizione: $W^(_|_) = {v in RR^3 \qquad : \qquad varphi(v,w)=0 \qquad AAw in W}

Prendo quindi un generico $w in W \qquad => \qquad w = (0,t,0) \qquad t != 0$
Prendo un generico $v in RR^3 \qquad => \qquad v = (a,b,c) \qquad (a,b,c) != (0,0,0)$

$0 = varphi(v,w)=varphi(w,v)=wM_E(varphi)v= (0,t,0)((6,3,10),(3,0,7),(10,7,14))v = (3t, 0 ,7t)(a,b,c) = (3at, 0, 7ct) = 0$

da cui ottengo $a=0, c=0, b!=0$ e quindi $v = (0,b,0) in W^(_|_)$. Ma così facendo ora $W^(_|_) -= W$ ! Com'è possibile?!?! Cosa sbaglio?

Grazie!

[miuemia]

non sbagli nulla. guarda bene la matrice, non noti nulla?

[gygabyte017]

Ehm non saprei... è simmetrica ovviamente... è singolare (infatti ho trovato $RR^3^(_|_)$ e $U$ tali che siano in somma diretta ortogonale) e boh non mi viene in mente altro... che dovrei notare?

[gygabyte017]

Aaaah forse ci sono! è quello zero in mezzo che mi dice che $e_2$ è isotropo?!?!?!?! E che quindi $W^(_|_) -= W$ perchè là dentro sono tutti isotropi e quindi tutti ortogonali tra loro?? wow

[miuemia]

il vettore $e_2$ ha norma nulla in quanto il secondo elemento sulla diagonali indica proprio quel numero. poichè come hai detto tu la matrice è espressa nella base canonica. dunque $e_2$ è isotropo e si ha che il suo ortogonale coincide con lo spazio che lui stesso genera.

[gygabyte017]

Vero vero vero... grazie 1000 per avermelo fatto notare!

[miuemia]

nulla!