Domanda su sottospazi
Ho questo esercizio che dice:
Dato $V=((x,y,z) ''di'' R^3: x=y+2)$ dire se è sottospazio a $R^3$
Io ho pensato di prendere due vettori generici del tipo:
$(y+2,y,0)$ e $(-y-2,-y,0)$
vedo la somma delle componenti che mi da il vettore nullo $(0,0,0)$ che è contenuto in $R^3$.
Ora non so se ho scritto una boiata assurda, o vada bene. In generale come si deve ragionare su esercizi del genere?
Grazie.
Dato $V=((x,y,z) ''di'' R^3: x=y+2)$ dire se è sottospazio a $R^3$
Io ho pensato di prendere due vettori generici del tipo:
$(y+2,y,0)$ e $(-y-2,-y,0)$
vedo la somma delle componenti che mi da il vettore nullo $(0,0,0)$ che è contenuto in $R^3$.
Ora non so se ho scritto una boiata assurda, o vada bene. In generale come si deve ragionare su esercizi del genere?
Grazie.
Risposte
Il fatto che il vettore nullo deve appartenere al "candidato" sottospazio $V$ non ti assicura nulla.
Prova a verificare se è chiuso rispetto alle operazioni di $RR^3$
Prova a verificare se è chiuso rispetto alle operazioni di $RR^3$
"mistake89":
Il fatto che il vettore nullo deve appartenere al "candidato" sottospazio $V$ non ti assicura nulla.
Prova a verificare se è chiuso rispetto alle operazioni di $RR^3$
Dunque quello che ho fatto io, è una condizione necessaria (prendere 2 vettori generi) ma non sufficiente per dire che V è sottospazio a $R^3$
c'è una relazione sul libro che dice che:
se $V'$ è sottospazio vettoriale di $V$ allora sarà anche
$(alpha)*u+(beta)*v 'di' V'$
dunque prendo $alpha=3$ e $beta=2$
$3(y+2,y,0)+2(-y-2,-y,0)$
$(3y+6,3y,0)+(-2y-4,-2y,0)=(y+2,y,0)$
cosi?
Beh devi provare che per ogni $alpha,beta in RR$ e per ogni $u,v in V'$ anche $alpha u+beta v in V'$, non basta provarlo per due generici valori di $alpha$ e $beta$.
Prova ad osservare cosa succede sommando i vettori $(3,1,0)$ e $(5,3,0)$, che ovviamente stanno in $V'$.
Prova ad osservare cosa succede sommando i vettori $(3,1,0)$ e $(5,3,0)$, che ovviamente stanno in $V'$.
Attenzione, un vettore di $V$ si presenta nella forma: $(y+2, y, z)$.
E' evidente inoltre che il vettore $(0,0,0)\notin V$ pertanto V non può essere un sottospazio di $\mathbb{R}^3$
E' evidente inoltre che il vettore $(0,0,0)\notin V$ pertanto V non può essere un sottospazio di $\mathbb{R}^3$
"Mathematico":
Attenzione, un vettore di $V$ si presenta nella forma: $(y+2, y, z)$.
E' evidente inoltre che il vettore $(0,0,0)\notin V$ pertanto V non può essere un sottospazio di $\mathbb{R}^3$
Mi sa che hai proprio ragione, in effetti avevo dato per scontato che $z=0$ e basta, invece bisogna scriverlo come hai detto tu.
Per mistake:
"mistake89":
Beh devi provare che per ogni $alpha,beta in RR$ e per ogni $u,v in V'$ anche $alpha u+beta v in V'$, non basta provarlo per due generici valori di $alpha$ e $beta$.
Prova ad osservare cosa succede sommando i vettori $(3,1,0)$ e $(5,3,0)$, che ovviamente stanno in $V'$.
se sommo quei due vettori, viene $(8,4,0)$ vettore somma, che non è contenuto in $V'$ poichè a $y=4$ corrisponderebbe $(6,4,0)$ il che mi fa pensare che $x=y+2$ non è sottospazio in ogni caso.
Che ne dite ora?
per questo esercizio in particolare si fa in fretta perche ti basta vedere che $(0,0,0)in RR^3$ non è contenuto nel presunto sottospazio (di $RR^3$) $W: x=y+2$.
Infatti $W$ è un piano traslato di 2 dall'origine,e la condizione necessaria perche ogni piano sia un sottospazio è che contenga l'origine
Infatti $W$ è un piano traslato di 2 dall'origine,e la condizione necessaria perche ogni piano sia un sottospazio è che contenga l'origine
Sì ovviamente sì. Ho sbagliato a non precisare. Volevo però far passare l'idea che non bastasse solo verificare quello per provare che un certo sottoinsieme è un sottospazio.
Capito, dunque se avessi ad esempio:
$W=((x,y,z,t) 'di' R^4: x+y=0 'e' 2z-t=0)$
posso affermare che è sottospazio ad $R^4$ in quanto preso il vettore nullo $(0,0,0,0)$
$x+y=0$ è verificato
$2z-t=0$ è verificato.
In generale, per verificare se un sottospazio, basta provare con il vettore nullo?
$W=((x,y,z,t) 'di' R^4: x+y=0 'e' 2z-t=0)$
posso affermare che è sottospazio ad $R^4$ in quanto preso il vettore nullo $(0,0,0,0)$
$x+y=0$ è verificato
$2z-t=0$ è verificato.
In generale, per verificare se un sottospazio, basta provare con il vettore nullo?
Mi sai dire com' è fatto un vettore di $W$?
Detto questo, condizione necessaria ma non sufficiente affinchè W sia un sottospazio di $\mathbb{R}^4 $ è che il vettore nullo $(0,0,0,0)\in W$.
Possiamo quindi avere due casi:
• Se $(0,0,0,0)\notin W$ allora W non è un sottospazio fine dell'esercizio.
• Se $(0,0,0,0)\in W$ allora bisogna verificare che:
(1) presi due vettori, $u, v\in W$, la loro somma $u+v$ appartiene a $W$.
(2) per ogni scalare $\lambda\in \mathbb{R}$ e per ogni vettore $w\in W$ il prodotto $\lambda*w\in W$.
Se entrambe le condizioni (1), (2) sono soddisfatte allora W è un sottospazio.
Se almeno una delle due condizioni non è soddisfatta allora W non è un sottospazio.
La cosa più importante è capire come sono fatti i vettori per poter procedere tranquillamente
[EDIT]: Corretto un errore di distrazione
Detto questo, condizione necessaria ma non sufficiente affinchè W sia un sottospazio di $\mathbb{R}^4 $ è che il vettore nullo $(0,0,0,0)\in W$.
Possiamo quindi avere due casi:
• Se $(0,0,0,0)\notin W$ allora W non è un sottospazio fine dell'esercizio.
• Se $(0,0,0,0)\in W$ allora bisogna verificare che:
(1) presi due vettori, $u, v\in W$, la loro somma $u+v$ appartiene a $W$.
(2) per ogni scalare $\lambda\in \mathbb{R}$ e per ogni vettore $w\in W$ il prodotto $\lambda*w\in W$.
Se entrambe le condizioni (1), (2) sono soddisfatte allora W è un sottospazio.
Se almeno una delle due condizioni non è soddisfatta allora W non è un sottospazio.
La cosa più importante è capire come sono fatti i vettori per poter procedere tranquillamente
[EDIT]: Corretto un errore di distrazione
"Mathematico":
Mi sai dire com' è fatto un vettore di $W$?
un generico vettore di $W$ ha queste cordinate: $(-y, y, z , 2z)$
quindi se $y=0$ e $z=0$ il vettore nullo c'è.
Detto questo, condizione necessaria ma non sufficiente affinchè W sia un sottospazio di $\mathbb{R}^4 $ è che il vettore nullo $(0,0,0,0)\in W$.
quindi se $y=0$ e $z=0$ il vettore nullo c'è.
• Se $(0,0,0,0)\in W$ allora bisogna verificare che:
(1) presi due vettori, $u, v\in W$, la loro somma $u+v$ appartiene a $W$.
prendo:
$u=(-1,1,0,0)$ e $v(-3,3,1,2)$
$u+v=(-4,4,1,2)$ va bene perchè segue il vettore generale di $W$
(2) per ogni scalare $\lambda\in \mathbb{R}$ e per ogni vettore $w\in W$ il prodotto $\lambda*w\in W$.
$(-lambda*y, lambda*y, lambda*z,2*lambda*z)$ e va bene anche.
dunque credo che questo $W$ è sottospazio a $R^3$
Ciao Clever, hai fatto la fusione tra il mio e il tuo messaggio, quindi spero di non commettere errori nella interpretazione:
Un vettore generico di W è $(-y, y, z, 2z)$ esattamente come hai scritto tu. Il vettore nullo appartiene a W, basta prendere $y=z=0$. Fin qui tutto ok. Per mostrare che la somma di due vettori di W appartiene a W, devi prendere due vettori generici $(-y_1, y_1, z_1, 2z_1)$ e $(-y_2, y_2, z_2, 2z_2)$ e sommarli, se la somma soddisfa la condizione che caratterizza i vettori di W allora hai mostrato che la somma appartiene a W. Quello che scrivi tu non va bene, perchè hai preso vettori particolari.
La (2) va bene.
$W$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^4$ ma penso sia un typo;)
Un vettore generico di W è $(-y, y, z, 2z)$ esattamente come hai scritto tu. Il vettore nullo appartiene a W, basta prendere $y=z=0$. Fin qui tutto ok. Per mostrare che la somma di due vettori di W appartiene a W, devi prendere due vettori generici $(-y_1, y_1, z_1, 2z_1)$ e $(-y_2, y_2, z_2, 2z_2)$ e sommarli, se la somma soddisfa la condizione che caratterizza i vettori di W allora hai mostrato che la somma appartiene a W. Quello che scrivi tu non va bene, perchè hai preso vettori particolari.
La (2) va bene.
[...]questo $W$ è sottospazio a $R^3$
$W$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^4$ ma penso sia un typo;)
Per $RR^4$ avevo sbagliato a scrivere xD
Per l'altra cosa, cioè quella di generalizzare, hai ragione tu, dunque è:
$(-(y_1+y_2), y_1+y_2, z_1+z_2, 2(z_1+z_2))$
direi che va bene ora.
Per l'altra cosa, cioè quella di generalizzare, hai ragione tu, dunque è:
$(-(y_1+y_2), y_1+y_2, z_1+z_2, 2(z_1+z_2))$
direi che va bene ora.
Perfetto! 
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