Domanda semplice su proprietà del prodotto scalare
Rileggendo i miei appunti di tutt'altro, a un certo punto il prof usa questa:
data $A$ matrice non singolare nxn, $a,b in RR^n$ e denotato $(,)$ il prodotto scalare euclideo:
$(a,Ab)=(A^Ta,b)$
Poichè non ricordo molto di questi argomenti, posto qui, probabilmente c'è qualcuno più fresco.
Volevo una dimostrazione di quest'uguaglianza, che fosse un minimo intelligente: con i semplici conti l'ho fatta e non dà problemi, ma esiste un modo più intelligente?
E vale anche per prodotti scalari qualunque?
E' necessaria l'ipotesi della non singolarità della matrice? (direi di no: probabilmente c'è perchè serve in un altro punto della dimostrazione)
data $A$ matrice non singolare nxn, $a,b in RR^n$ e denotato $(,)$ il prodotto scalare euclideo:
$(a,Ab)=(A^Ta,b)$
Poichè non ricordo molto di questi argomenti, posto qui, probabilmente c'è qualcuno più fresco.
Volevo una dimostrazione di quest'uguaglianza, che fosse un minimo intelligente: con i semplici conti l'ho fatta e non dà problemi, ma esiste un modo più intelligente?
E vale anche per prodotti scalari qualunque?
E' necessaria l'ipotesi della non singolarità della matrice? (direi di no: probabilmente c'è perchè serve in un altro punto della dimostrazione)
Risposte
vale che $(x,y)=x^Ty$, dunque $(a,Ab)=a^T(Ab)=(a^TA)b=(A^Ta)^Tb=(A^Ta,b)$
In generale se il prodotto scalare è definito da $(x,y) = x^T G y$ (dove $G$ è una matrice quadrata simmetrica non degenere definita positiva), hai
$(a,Ab) = a^T G Ab$,
$(A^Ta,b) = a^T A G b$.
Quindi se $A$ e $G$ commutano, la proprietà che dici vale.
In ogni caso non è necessario che $A$ sia non singolare.
$(a,Ab) = a^T G Ab$,
$(A^Ta,b) = a^T A G b$.
Quindi se $A$ e $G$ commutano, la proprietà che dici vale.
In ogni caso non è necessario che $A$ sia non singolare.
Ringrazio tutti per le informazioni dettagliate.
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