Disuguaglianza triangolare dimostrazione vettoriale
Buonasera ragazzi... dovrei dimostrare che dati due vettori v e w appartenenti a uno spazio vettoriale V allora vale la disuguaglianza triangolare cioè che la norma della somma di due vettori è minore o uguale alla somma delle norme dei due vettori.
per tale dimostrazione ho proceduto nel metodo analogo alla dimostrazione delle proprietà del valore assoluto.. il vero problema è dimostrare che nella disuguaglianza vale l'uguaglianza se solo se un vettore è multiplo dell'altro e questo multiplo è uno scalare strettamente positivo.... cioè come procedo? ho provato a sostituire il vettore scritto come multiplo del vettore generico nella disuguaglianza e ho dimostrato la prima implicazione cioè che se esiste questo scalare strettamente positivo e tale che il vettore v è un multiplo di w secondo questo scalare allora vale l'uguaglianza. Ma come faccio a dimostrare l'altra implicazione cioè che se vale l'uguaglianza allora esiste uno scalare lambda strettamente positivo per cui il vettore v si scriva come lo scalare lambda moltiplicato per v?
scusate se non ho scritto con formule ma sono nuovo sto imparando ora e non volevo scrivere scemenze o non rispettare le linee guida. grazie mille vorrei davvero capire la dimostrazione!
per tale dimostrazione ho proceduto nel metodo analogo alla dimostrazione delle proprietà del valore assoluto.. il vero problema è dimostrare che nella disuguaglianza vale l'uguaglianza se solo se un vettore è multiplo dell'altro e questo multiplo è uno scalare strettamente positivo.... cioè come procedo? ho provato a sostituire il vettore scritto come multiplo del vettore generico nella disuguaglianza e ho dimostrato la prima implicazione cioè che se esiste questo scalare strettamente positivo e tale che il vettore v è un multiplo di w secondo questo scalare allora vale l'uguaglianza. Ma come faccio a dimostrare l'altra implicazione cioè che se vale l'uguaglianza allora esiste uno scalare lambda strettamente positivo per cui il vettore v si scriva come lo scalare lambda moltiplicato per v?
scusate se non ho scritto con formule ma sono nuovo sto imparando ora e non volevo scrivere scemenze o non rispettare le linee guida. grazie mille vorrei davvero capire la dimostrazione!
Risposte
La disuguaglianza triangolare discende dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
\[
|v+w|^2 = (v+w)\cdot (v+w)=v \cdot v + 2v\cdot w + w\cdot w \le |v|^2 + 2 |v||w| + |w|^2 = (|v|+|w|)^2
\] considerando ora che tutti i numeri coinvolti sono positivi, deve essere \(|v+w|\le |v|+|w|\). E la dimostrazione di Cauchy-Schwarz è un facile esercizio
\[
|v+w|^2 = (v+w)\cdot (v+w)=v \cdot v + 2v\cdot w + w\cdot w \le |v|^2 + 2 |v||w| + |w|^2 = (|v|+|w|)^2
\] considerando ora che tutti i numeri coinvolti sono positivi, deve essere \(|v+w|\le |v|+|w|\). E la dimostrazione di Cauchy-Schwarz è un facile esercizio
ma la disuguaglianza triangolare l'avevo dimostrata in un altro modo io non riuscivo a dimostrare l'esistenza di uno scalare che implica l'uguaglianza nella disugualianza.. forse cauchy schwarz posso utilizzarlo per questo.
"killing_buddha":
E la dimostrazione di Cauchy-Schwarz è un facile esercizio
Dipende quale delle 800 dimostrazioni intendi
Le condizioni affinché valga l'uguaglianza le trovi proprio con Cauchy-Schwarz.
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