Distinzione tra ellissoide ed iperboloide

[KatieP]

Dopo aver trovato che il determinante della matrice associata alla quadrica è strettamente negativo -quindi che la quadrica è non degenere e ha punti ellittici- e che la conica impropria sia non degenere, il mio professore ha calcolato il determinante del complemento algebrico, $|A_33|$ : nel caso in cui è positivo vuol dire che la conica impropria è priva di punti reali e quindi si tratta di un ellissoide, viceversa per l'iperboloide. Non capisco questa caratterizzazione: nelle coniche l'$A_33$ rappresentava un modo per studiare le intersezioni della conica con la retta impropria e se risultava positivo, si poteva concludere che la conica fosse un'ellisse (avrebbe avuto due punti di intersezione complessi e coniugati con la retta impropria), ma non necessariamente che tale ellisse fosse privo di punti reali. Cosa sbaglio?

[dissonance]

Io capisco che ci sono solo due possibilità: o i punti impropri della quadrica sono reali oppure che non lo sono. Per quanto hai calcolato in precedenza la quadrica può essere solo o un ellissoide o un iperboloide. Un ellissoide è una figura limitata che quindi non può intersecarsi con l'iperpiano improprio, oppure può farlo ma solo con punti complessi, che quindi non appaiono nel disegno. Perciò se ci sono punti impropri reali, allora devi avere un iperboloide.

[KatieP]

Sì, ma perché è proprio studiando il segno di $|A_33|$ che si può dire se ci sono o meno punti reali nella conica impropria (di intersezione con l'iperpiano improprio)?

[KatieP]

Il fatto che ad esempio ci siano dei punti complessi e coniugati di intersezione perché mi assicura l'assenza di punti reali altrove nella conica impropria?

[dissonance]

Buh. Ma è facile indovinarlo. L'equazione dell'intersezione della quadrica con l'iperpiano improprio è una equazione di secondo grado. Quel determinante, sicuramente, coincide con il discriminante di questa equazione.

P.S.: Anche la domanda sui punti complessi e coniugati ha la stessa risposta. Se le soluzioni di questa equazione di secondo grado non sono reali, non ci sono punti reali impropri.

[KatieP]

Credo di aver capito qual è il problema nel mio ragionamento: nello studio delle coniche, per capire se si trattasse di un'ellisse ad esempio si verificava che l'$|A_33|$ fosse positivo. Ciò non voleva dire necessariamente che l'ellisse fosse senza punti reali, ma semplicemente che non avesse punti reali impropri, visto che gli unici punti impropri della conica sono due, quelli di intersezione con la retta impropria. Nel caso delle quadriche, si studia invece la conica impropria che ha tutti i suoi punti impropri. Dunque, intersecandola con una qualsiasi delle rette improprie dell'iperpiano improprio (e quindi studiando l'$|A_33$|) si può concludere che se ci sono 2 punti di intersezione complessi e coniugati, tutti gli altri lo saranno. È giusto? Grazie della pazienza

[dissonance]

Non lo so se è giusto al 100%, non mi ricordo più bene queste cose e inoltre non so cosa sia questo $A_{33}$. Però mi sembra plausibile.

[KatieP]

Il complemento algebrico ottenuto cancellando la terza riga e terza colonna nella matrice associata alla conica impropria. Comunque grazie mille.