Distanza tra rette non parallele
Sul Sernesi ho trovato questo esercizio:
Determinare la retta $r$ di $E^3$ per $P(3,2,1)$ perpendicolare $s:$$((x+1)/3=y-2=-z/2$ e incidente $t:$$x-3y-z=x+7y+z-6=0$. Calcolare la distanza tra $r$ ed $s$.
innanzi tutto la retta perpendicolare e passante per un punto non è unica? Quindi che significa che sia anche incidente $t$? come si imposta questa condizione? (ammesso che si possa impostare!)
E poi, o non ho capito io (probabile), ma esiste la distanza tra 2 rette perpendicolari? e se sì, come si calcola?
Grazie a tutti!
Determinare la retta $r$ di $E^3$ per $P(3,2,1)$ perpendicolare $s:$$((x+1)/3=y-2=-z/2$ e incidente $t:$$x-3y-z=x+7y+z-6=0$. Calcolare la distanza tra $r$ ed $s$.
innanzi tutto la retta perpendicolare e passante per un punto non è unica? Quindi che significa che sia anche incidente $t$? come si imposta questa condizione? (ammesso che si possa impostare!)
E poi, o non ho capito io (probabile), ma esiste la distanza tra 2 rette perpendicolari? e se sì, come si calcola?
Grazie a tutti!
Risposte
Nello spazio 3D la retta passante per un punto e perpendicolare a un'altra retta non è unica , anzi .. atenzione perpendicolare non vuol dire incidente: infatti poi aggiunge che sia incidente alla retta $t $ .
Se le rette $r , s $ sono perpendicolari vuol dire che i loro parametri direttori stanno in una certa relazione tra loro.
Se le rette $r , s $ sono perpendicolari vuol dire che i loro parametri direttori stanno in una certa relazione tra loro.
non capisco perchè non è unica...
se io fisso un punto $P$ per questo punto passa un'unica retta parallela e complanare ad $r$ che chiamo $r'$ se io considero la retta di minima distanza (da $P$) (essa è unica) io prendo la retta che l'esercizio mi chiedeva, ovvero perpendicolare. Perchè non dovrebbe essere unica una generica retta perpendicolare?
Sto provando ad immaginare, ma torno a pensare che essa sia unica, sarà un mio limite.
Come imporre allora che sia anche incidente all'altra retta?
e quanto alla distanza?
PS Non è possibile piuttosto che la traccia sia sbagliata e lì dove c'è perpendicolare, ci debba essere parallela?
se io fisso un punto $P$ per questo punto passa un'unica retta parallela e complanare ad $r$ che chiamo $r'$ se io considero la retta di minima distanza (da $P$) (essa è unica) io prendo la retta che l'esercizio mi chiedeva, ovvero perpendicolare. Perchè non dovrebbe essere unica una generica retta perpendicolare?
Sto provando ad immaginare, ma torno a pensare che essa sia unica, sarà un mio limite.
Come imporre allora che sia anche incidente all'altra retta?
e quanto alla distanza?
PS Non è possibile piuttosto che la traccia sia sbagliata e lì dove c'è perpendicolare, ci debba essere parallela?
Sempre nello spazio a 3 D, costruisci il piano $pi $ passante per $P$ e perpendicolare alla retta $s $.Tutte le rette di questo piano, passanti per $P$ sono perpendicolari alla retta $s $.
EDIT : corretto $r $ in $s$ !!!
EDIT : corretto $r $ in $s$ !!!
Scusami Camillo se sembro l'avvocato del Diavolo, ma non riesco a capire:
se io prendo un piano $\pi$ perpendicolare a $r$ vuol dire che avrò ${H}=\pinnr$ giusto? quindi la retta cercata sarà $[P Q]$
oltre questa io non vedo altre rette perpendicolare che passino per $P$. Certo, tutte le rette complanari a $[PQ]$ saranno perpendicolari, ma non passeranno per $P$.
Grazie per la tua disponibilità e scusami per la mia ottusaggine
se io prendo un piano $\pi$ perpendicolare a $r$ vuol dire che avrò ${H}=\pinnr$ giusto? quindi la retta cercata sarà $[P Q]$
oltre questa io non vedo altre rette perpendicolare che passino per $P$. Certo, tutte le rette complanari a $[PQ]$ saranno perpendicolari, ma non passeranno per $P$.
Grazie per la tua disponibilità e scusami per la mia ottusaggine
Ci vorrebbe un disegno ma non so disegnare...
Nel mio post precedente dove scrivevo retta $ r $ va invece scritto retta $s $ -sorry.
Partiamo da quello che abbiamo : il punto $P$ e la retta $s $.Disegno il piano $pi$ passante per $P$ e perpendicolare alla retta $s $.
Considero ora il fascio di rette , giacenti sul piano $pi $ e di centro il punto $P$ : esse sono tutte "rette $r$ " perchè passanti per $P$ e ortogonali alla retta $s $.
sei d'accordo ?
Nel mio post precedente dove scrivevo retta $ r $ va invece scritto retta $s $ -sorry.
Partiamo da quello che abbiamo : il punto $P$ e la retta $s $.Disegno il piano $pi$ passante per $P$ e perpendicolare alla retta $s $.
Considero ora il fascio di rette , giacenti sul piano $pi $ e di centro il punto $P$ : esse sono tutte "rette $r$ " perchè passanti per $P$ e ortogonali alla retta $s $.
sei d'accordo ?
ti ringrazio nuovamente per la disponibilità, davvero.
allora: quando io disegno il piano $\pi$ che contiene $P$ ed è perpendicolare $s$ ottengo un punto $H$ che è dato da $snn\pi$. Per ciò che immagino è il fascio di centro $H$ ad essere formato da rette ortogonali ad $s$.
Se io prendessi il fascio di centro $P$ ogni retta che congiunge $[PQ]$ con $Q$ non allineato ad $H$ a me risulta con intersezione vuota rispetto a $s$.
sono un caso disperato
allora: quando io disegno il piano $\pi$ che contiene $P$ ed è perpendicolare $s$ ottengo un punto $H$ che è dato da $snn\pi$. Per ciò che immagino è il fascio di centro $H$ ad essere formato da rette ortogonali ad $s$.
Se io prendessi il fascio di centro $P$ ogni retta che congiunge $[PQ]$ con $Q$ non allineato ad $H$ a me risulta con intersezione vuota rispetto a $s$.
sono un caso disperato
http://img85.imageshack.us/img85/7779/pianol.jpg
io ho fatto un disegno cosi, credo che vada bene.
Inoltre è un problema che ho posto anche io.
Quindi la prima cosa che va fatta è trovarsi il piano per quel punto e avente $n_x,n_y,n_z$ che siano uguali al vettore direttore
della retta $s$?
io ho fatto un disegno cosi, credo che vada bene.
Inoltre è un problema che ho posto anche io.
Quindi la prima cosa che va fatta è trovarsi il piano per quel punto e avente $n_x,n_y,n_z$ che siano uguali al vettore direttore
della retta $s$?
Ma (a meno di non aver sbagliato i calcoli e di questo me ne scuso!) il mio punto $P$ non appartiene a $s$ non potrà mai essere il punto di intersezione tra retta e piano come il disegno!
Per questo io affermo che questa retta è unica!
Per questo io affermo che questa retta è unica!
Scusate l'intromissione e scusate se il disegno è un po' grezzo, però spero di riuscire a convincere Mistake89 che la retta in questione non è unica.
La retta obliqua è la retta $s$, il punto posto nel disegno sotto $s$ è il punto $P$. Il piano grigio è il piano $pi$ ortogonale ad $s$ e passante per $P$.
Tutte le rette per $P$ che ho disegnato sono contenute nel piano $pi$. Di queste solo una interseca la retta $s$ in un punto $Q$ che ho disegnato.
(o meglio, ho provato a disegnare: lo so che il disegno non è proprio il massimo )
Tali rette sono passanti per $P$ e ortogonali ad $s$. Perciò la retta perpendicolare ad $s$ e passante per $P$ non è unica!
Ti ho convinto ora?
La retta obliqua è la retta $s$, il punto posto nel disegno sotto $s$ è il punto $P$. Il piano grigio è il piano $pi$ ortogonale ad $s$ e passante per $P$.
Tutte le rette per $P$ che ho disegnato sono contenute nel piano $pi$. Di queste solo una interseca la retta $s$ in un punto $Q$ che ho disegnato.
(o meglio, ho provato a disegnare: lo so che il disegno non è proprio il massimo
)Tali rette sono passanti per $P$ e ortogonali ad $s$. Perciò la retta perpendicolare ad $s$ e passante per $P$ non è unica!
Ti ho convinto ora?
Cirasa, ti ringrazio del disegno. E' quello che avevo in testa io... allora forse non mi è chiaro il concetto di ortogonalità nello spazio. Tu dici
non è allora solo questa quella ortogonale? Cioè, due rette posso essere ortogonali in $E^3$ anche senza intersecarsi?
E dato che così è, come si imposta un problema cui sopra? E sopratutto come si calcola la distanza tra $2$ rette non parallele?
Grazie e scusate del tempo che vi sto facendo perdere.
Di questa solo una interseca la retta $s$...
non è allora solo questa quella ortogonale? Cioè, due rette posso essere ortogonali in $E^3$ anche senza intersecarsi?
E dato che così è, come si imposta un problema cui sopra? E sopratutto come si calcola la distanza tra $2$ rette non parallele?
Grazie e scusate del tempo che vi sto facendo perdere.
Guarda gli spigoli di questo parallelepipedo:
Le rette $[D,H]$ e $[A,B]$ sono perpendicolari, ma non si intersecano (sono sghembe).
Per il calcolo della distanza di due rette $r$ ed $s$ hai vari casi:
1) $r$ ed $s$ sono parallele;
2) $r$ ed $s$ sono incidenti;
3) $r$ ed $s$ sono sghembe.
Nel caso 2) la distanza è $0$, nel caso 1) devi calcolare la distanza fra la retta $r$ e uno qualsiasi dei punti di $s$, nel caso 3) devi usare il metodo che probabilmente avrete fatto a lezione (naturalmente se non l'hai capito/non te lo ricordi/non hai preso bene gli appunti, puoi chiedere).
Spero di averti aiutato.
Le rette $[D,H]$ e $[A,B]$ sono perpendicolari, ma non si intersecano (sono sghembe).
Per il calcolo della distanza di due rette $r$ ed $s$ hai vari casi:
1) $r$ ed $s$ sono parallele;
2) $r$ ed $s$ sono incidenti;
3) $r$ ed $s$ sono sghembe.
Nel caso 2) la distanza è $0$, nel caso 1) devi calcolare la distanza fra la retta $r$ e uno qualsiasi dei punti di $s$, nel caso 3) devi usare il metodo che probabilmente avrete fatto a lezione (naturalmente se non l'hai capito/non te lo ricordi/non hai preso bene gli appunti, puoi chiedere).
Spero di averti aiutato.
Mmm non so come ringraziarti Cirasa, e anche a tutti gli altri che sono intervenuti, mi hai chiarito il concetto di perpendicolarità nello spazio. Io credevo dovessero per forza essere incidenti per essere perpendicolari. Quanto alla distanza, credo che nel caso dell'incidenza non si calcolasse data l'ovvietà
nel caso in un cui sono sghembe si usa la minima distanza vero? Che è l'unica retta perpendicolare che sia incidente.
Grazie mille, questo quesito mi è stato di grande aiuto!
Grazie a tutti!
nel caso in un cui sono sghembe si usa la minima distanza vero? Che è l'unica retta perpendicolare che sia incidente.
Grazie mille, questo quesito mi è stato di grande aiuto!
Grazie a tutti!
Grazie cirasa del valido supporto , io ho provato a convincerlo che sono $oo$ ma non ci son riuscito
"mistake89":
nel caso in un cui sono sghembe si usa la minima distanza vero? Che è l'unica retta perpendicolare che sia incidente.
Nel caso di rette sghembe, sì, devi usare la retta di minima distanza.
"mistake89":
Cirasa, scusa se ti disturbo ancora... nell'esempio da te postato sopra, la retta di minima distanza tra $[AB]$ e $[DH]$ sarebbe $[AD]$ vero?
Sì
"Camillo":
Grazie cirasa del valido supporto , io ho provato a convincerlo che sono $oo$ ma non ci son riuscito
Alla fine ha ceduto! Missione compiuta!
Ahah grazie Camillo. In realtà ero sicuro di ciò che dicevate, ma fino a che "non tocco con mano" non mi riesco ad autoconvincere... è un mio difetto!
Grazie ancora!
Grazie ancora!
"cirasa":
Bel disegno Cirasa, con quale software l'hai fatto?
"franced":
Bel disegno Cirasa, con quale software l'hai fatto?
In realtà, ho barato, non l'ho fatto io, non sono così bravo con il computer (anzi diciamo pure che sono una frana!).
Volevo mostrare un parallelepipedo e ho cercato una buona immagine con Google.
Vabbè, peccato.
"mistake89":
Ahah grazie Camillo. In realtà ero sicuro di ciò che dicevate, ma fino a che "non tocco con mano" non mi riesco ad autoconvincere... è un mio difetto!
Grazie ancora!
No, non è un difetto , bisogna toccare con mano come San Tommaso .
Il fatto è che si è poco abituati a ragionare nello spazio ma solo nel piano
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