Distanza rette sghembe
Ho difficoltà nel seguente esercizio:
"Date due rette in forma parametrica
\[r\]\[\{x=2\tau\]\[y=-\tau\]\[ z=\tau\}\]
\[r'\]\[\{x=s+1\]\[y=s+1\]\[z=-s+1\}\]
(sono due sistemi)
determinarne la posizione reciproca e la distanza."
Io ho determinato che le rette sono sghembe, perciò, per calcolarne la distanza ho fatto nel modo seguente:
1) Ho trovato il vettore n perpendicolare a \(\pi\) (piano che contiene r) e \(\pi'\) (piano che contiene r'), facendo il prodotto scalare tra i due vettori paralleli rispettivamente a \(\pi\) e \(\pi'\)
v=(2,-1,1) v'=(1,1,1)
\(n=v\bigwedge v'= (0,-3,3)\)
2) Ho trovato \(P=(0,0,0) \epsilon\) r e \(P'=(-1,-1,-1) \epsilon\) r'
3) A questo punto dovrei applicare la seguente formula
\[d(r,r')=|((P'-P)n)/|n||\]
Ed è qui che mi blocco perché, svolgendo i calcoli, mi rimane una terna in \(\mathbb{R^3}\), mentre nel risultato la distanza è espressa in \(\mathbb{R}\) ed è uguale a "radice quadrata di 2".
Dove è che sbaglio?
"Date due rette in forma parametrica
\[r\]\[\{x=2\tau\]\[y=-\tau\]\[ z=\tau\}\]
\[r'\]\[\{x=s+1\]\[y=s+1\]\[z=-s+1\}\]
(sono due sistemi)
determinarne la posizione reciproca e la distanza."
Io ho determinato che le rette sono sghembe, perciò, per calcolarne la distanza ho fatto nel modo seguente:
1) Ho trovato il vettore n perpendicolare a \(\pi\) (piano che contiene r) e \(\pi'\) (piano che contiene r'), facendo il prodotto scalare tra i due vettori paralleli rispettivamente a \(\pi\) e \(\pi'\)
v=(2,-1,1) v'=(1,1,1)
\(n=v\bigwedge v'= (0,-3,3)\)
2) Ho trovato \(P=(0,0,0) \epsilon\) r e \(P'=(-1,-1,-1) \epsilon\) r'
3) A questo punto dovrei applicare la seguente formula
\[d(r,r')=|((P'-P)n)/|n||\]
Ed è qui che mi blocco perché, svolgendo i calcoli, mi rimane una terna in \(\mathbb{R^3}\), mentre nel risultato la distanza è espressa in \(\mathbb{R}\) ed è uguale a "radice quadrata di 2".
Dove è che sbaglio?
Risposte
Non so assolutamente risponderti, vorrei invece farti una domanda:
che cosa è la distanza tra due rette sghembe?
E' il segmento PIU' BREVE che congiunge due punti delle rette?
che cosa è la distanza tra due rette sghembe?
E' il segmento PIU' BREVE che congiunge due punti delle rette?
Per trovare la distanza tra $r$ e $r'$ si potrebbe fare così:
1: trovare il piano $\alpha$ passante per $r'$ e parallelo a $r$
2: preso un punto su $r$, mando la perpendicolare ad $\alpha$ e trovo l'intersezione H
3: calcolo PH
Ti introduco il punto 1. Metto $r'$ in forma cartesiana $\{(x-y=0),(x+z-2=0):}$
Il fascio di piani per $r'$ sarà $\lambda(x-y)+\mu(x+z-2)=0$, da cui $(\lambda+\mu)x-\lambday+\muz-2\mu=0$.
Se il piano $\alpha$ deve essere parallelo a $r$ si avrà $\vec r * \vec \alpha =0$, cioè $2(\lambda+\mu)+\lambda+\mu=0$.
Scegli un $\lambda$ e un $\mu$ che soddisfino a quest'ultima condizione e hai il piano $\alpha$.
1: trovare il piano $\alpha$ passante per $r'$ e parallelo a $r$
2: preso un punto su $r$, mando la perpendicolare ad $\alpha$ e trovo l'intersezione H
3: calcolo PH
Ti introduco il punto 1. Metto $r'$ in forma cartesiana $\{(x-y=0),(x+z-2=0):}$
Il fascio di piani per $r'$ sarà $\lambda(x-y)+\mu(x+z-2)=0$, da cui $(\lambda+\mu)x-\lambday+\muz-2\mu=0$.
Se il piano $\alpha$ deve essere parallelo a $r$ si avrà $\vec r * \vec \alpha =0$, cioè $2(\lambda+\mu)+\lambda+\mu=0$.
Scegli un $\lambda$ e un $\mu$ che soddisfino a quest'ultima condizione e hai il piano $\alpha$.
"gio73":
Non so assolutamente risponderti, vorrei invece farti una domanda:
che cosa è la distanza tra due rette sghembe?
E' il segmento PIU' BREVE che congiunge due punti delle rette?
Sí, esatto!
"Geppo":
Se il piano $\alpha$ deve essere parallelo a $r$ si avrà $\vec r * \vec \alpha =0$, cioè $2(\lambda+\mu)+\lambda+\mu=0$.
Ho capito tutto, tranne questo passaggio: da dove ricavi l'equazione $2(\lambda+\mu)+\lambda+\mu=0$.?
Perdonami per l'insistenza, ma ho un esame a giorni e vorrei avere meno lacune possibili...
Il vettore direzionale del piano $\alpha$, cioè $(\lambda+\mu, -\lambda, \mu)$ e quello della retta parallela $r$, cioè $(2, -1, 1)$, devono essere perpendicolari e, quindi, avere il prodotto scalare nullo, da cui la relazione.
Ok.. E per l'intersezione tra la perpendicolare al piano\(\alpha\) e la retta r?
Per comodità puoi scegliere il punto $P=(0,0,0)$ su r. La retta per P e perpendicolare ad $\alpha$ ($y+z-2=0$) avrà lo stesso vettore direzionale di $\alpha$, cioè (0,1,1). Tale retta avrà equazione $\{(x=0),(y=t),(z=t):}$
Fai l'intersezione col piano (punto H) e calcola PH.
Fai l'intersezione col piano (punto H) e calcola PH.
Perfetto! Torna tutto!
Il metodo é un po' macchinoso, peró i calcoli sono piú semplici di quello che avevo usato io!
Il metodo é un po' macchinoso, peró i calcoli sono piú semplici di quello che avevo usato io!
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