Distanza in R^n

[NightKnight1]

Siano
$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$ in $R^n$
$y = (y_1, ..., y_n)$ in $R^n$
per p reale positivo
poniamo
$d_p (x,y) = ( |x_1 - y_1|^p + ... + |x_n - y_n|^p )^(1/p)$.
Per quali p la funzione sopra definita $d_p : R^n X R^n to R^{+}$ è una distanza in $R^n$??

[_Tipper]

Per ogni $p \ge 1$ quella è la distanza indotta dalla norma $N_p(x) = (\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$. Per $p \to + \infty$ quella distanza viene ad essere $d_{\infty}(x, y) = \max_{i \in \{1, 2, \ldots, n\}} |x_i - y_i|$, ed è indotta dalla norma $N_{\infty}(x) = \max_{i \in \{1, 2, \ldots, n\}} |x_i|$

[NightKnight1]

Ho capito. Ma vorrei sapere come si può dimostrare che:
dati $x = (x_1, ..., x_2)$ e $y = (y_1, ..., y_2) \in R^n$ e $p \in [1,+ \infty)$
e posto $N_p(x) = (\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}$ per ogni x $\in R^n$
$N_p(x+y) \le N_p(x) + N_p(y)$
da cui discende la disuguaglianza triangolare $d_p(x,z) \le d_p(x,y) + d_p(y,z)$
Per $p=+\infty$ o p=1 è semplice. Per p=2 si usa la disuguaglianza di Scwharz, ma per gli altri p????

[miuemia]

consiglio utilizza questo risultato:
siano $(x_1,...,x_n)$ $(y_1,...,y_n)\inRR^n$ e siano $p,q\inRR$ tali che $p>1$ $q>1$ e $1/p +1/q=1$
allora

$sum_{i=1}^n |x_iy_i|<=1/p sum_{i=1}^n |x_i|^p +1/q sum_{i=1}^n |y_i|^q$

$sum_{i=1}^n|x_i y_i|<=(sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}(sum_{i=1}^n |y_i|^q)^{1/q}$

ciao

[Gaal Dornick]

Cioè la disuguaglianza di Holder (con la dieresi sulla o), che generalizza Schwartz.