Disegno di sottoinsiemi del piano \( \mathbb{R}^2 \)

[marco2132k]

Ciao. Devo disegnare, fissati due vettori \( v \) e \( w \) di \( \mathbb{R}^2 \) visto come lo spazio euclideo solito, non entrambi nulli:
1) l'insieme delle combinazioni lineari a coefficienti positivi di \( v \) e \( w \);
2) l'insieme delle combinazioni lineari di \( v \) e \( w \) con i coefficienti che sommano a \( 1 \) (ossia, gli \( \alpha v+\beta w \) tali che \( \alpha+\beta=1 \));
3) l'insieme degli \( \alpha v+\beta w \) con \( \alpha \) e \( \beta \) nell'intervallo \( \left[0,1\right] \);
4) l'insieme degli \( \alpha v+\beta w \) con \( \alpha \) e \( \beta \) nell'intervallo \( \left[0,1\right] \), ora tali che \( \alpha+\beta=1 \);
5) l'insieme degli \( \alpha v+\beta w \) con \( \alpha \) e \( \beta \) nell'intervallo \( \left[0,1\right] \), tali che \( \alpha+\beta\leqq 1 \).

Allora dico che
1) è la zona di piano "compresa" tra \( v \) e \( w \), e lo dico "vedendo la figura" e allungando e restringendo i vettori un po' a caso.
2) È la retta passante per i due vettori: l'insieme degli \( \alpha v+\beta w \) per \( a+b=1 \) è di fatto la retta \( v+\beta(w-v) \).
3) Credo sia l'intero parallelogramma formato dai due vettori: l'idea è di proiettare un vettore \( x \) su \( v \) e su \( w \), ossia \( x=\left(\langle v,x\rangle/{\lVert v \rVert}^2\right)v+\left(\langle w,x\rangle/{\lVert w \rVert}^2\right)w \). Non so formalizzarmi \( x \) è dentro il parallelogramma formato da \( v \) e \( w \) però! (E se dovessi farlo, userei proprio il fatto che \( x=\alpha v+\beta w\), con \( \alpha \) e \( \beta \) in \( \left[0,1\right] \) come definizione).
4) Facile, è il segmento \( \left[v,w\right] \).
5) Dovrebbe essere evidentemente il "triangolo" di vertici \( 0 \), \( v \), \( w \).

Com'è?

[Bokonon]

Tutto giusto.
Per il 3, le proiezioni sono appunto $alphav$ e $betaw$. Immaginali come i nuovi assi di riferimento.

[marco2132k]

Grazie per aver controllato.