Dire quando f sia iniettiva, suriettiva, semplice
Visto che a quanto pare sono stata bocciata all'esame di algebra per questo esercizio (che pensavo di aver fatto bene!) vorrei chiedere a voi la risoluzione, per poterla confrontare con la mia.
TESTO:
Sia data l'applicazione lineare f : R3 => R3, con
f(x; y; z) = {(7x + (12 - k)y + z),(2y + (k - 8)z),((k + 1)z)}
Dire, al variare di k, quando f sia iniettiva, suriettiva, semplice.
COME HO FATTO IO: ho trovato la matrice attraverso la base canonica, ottenendo
A= \$((7,12-k,1),(0,2,k-8),(0,0,k+1))\$
Ho riscritto la matrice attraverso la formula del polinomio caratteristico, e ho calcolato il determinante con il metodo di La Place, ottenendo così:
Det(A)= \$(7-t)*(2-t)*(k-1-t)\$
Ho trovato quindi gli autovalori t=7, t=2 e t=k-1
Ora ho fatto la discussione dei parametri:
Per k≠7,2 gli autovalori sono distinti quindi la funzione è semplice.
Per k=7, l'autovalore avrà molteplicità uguale a 1, quindi ho tre autovalori distinti, rispettivamente 7,2,6. Perchè f sia semplice l'autospazio relativo agli autovalori deve avere dimensione 1. Sostituisco nella matrice t=7 e k=7 e trovo che la matrice ha R(A)=1, quindi il sistema ha una equazione z=-1 e le variabili libere sono 2. F non è semplice.
Stessa discussione per k=2, ma per questo autovalore trovo che la funzione è semplice.
Ora, avendo il rango di due matrici faccio:
primo caso: R(A)=1 --> dim(imf)=1, dim(kerf)=2, f suriettiva
secondo caso: R(A)=2 --> dim(imf)=2, dim(kerf)= 1, f suriettiva
DOVE SBAGLIO?
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta. Spero riusciate a chiarire finalmente i miei dubbi.
Mara
TESTO:
Sia data l'applicazione lineare f : R3 => R3, con
f(x; y; z) = {(7x + (12 - k)y + z),(2y + (k - 8)z),((k + 1)z)}
Dire, al variare di k, quando f sia iniettiva, suriettiva, semplice.
COME HO FATTO IO: ho trovato la matrice attraverso la base canonica, ottenendo
A= \$((7,12-k,1),(0,2,k-8),(0,0,k+1))\$
Ho riscritto la matrice attraverso la formula del polinomio caratteristico, e ho calcolato il determinante con il metodo di La Place, ottenendo così:
Det(A)= \$(7-t)*(2-t)*(k-1-t)\$
Ho trovato quindi gli autovalori t=7, t=2 e t=k-1
Ora ho fatto la discussione dei parametri:
Per k≠7,2 gli autovalori sono distinti quindi la funzione è semplice.
Per k=7, l'autovalore avrà molteplicità uguale a 1, quindi ho tre autovalori distinti, rispettivamente 7,2,6. Perchè f sia semplice l'autospazio relativo agli autovalori deve avere dimensione 1. Sostituisco nella matrice t=7 e k=7 e trovo che la matrice ha R(A)=1, quindi il sistema ha una equazione z=-1 e le variabili libere sono 2. F non è semplice.
Stessa discussione per k=2, ma per questo autovalore trovo che la funzione è semplice.
Ora, avendo il rango di due matrici faccio:
primo caso: R(A)=1 --> dim(imf)=1, dim(kerf)=2, f suriettiva
secondo caso: R(A)=2 --> dim(imf)=2, dim(kerf)= 1, f suriettiva
DOVE SBAGLIO?
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta. Spero riusciate a chiarire finalmente i miei dubbi.
Mara
Risposte
Ciao e benvenuta. Per regolamento dovresti sia scrivere usando il sistema per le formule, sia mostrare i tuoi tentativi.
Paola
Paola
Ho modificato, ma perchè non mi fa vedere le formule? Ho usato quelle del regolamento.
Mara
Mara
Io per scrivere metto la S(contenuto)S
Ho utilizzato la S al posto del dollaro!
Ho utilizzato la S al posto del dollaro!
Non funziona in ogni caso!
Qualcuno può aiutarmi?
Non ho seguito bene il tuo ragionamento ma ho notato che in ogni caso le conclusioni finali sono sbagliate in quanto la funzione data è Iniettiva se Kerf=0 e suriettiva se Imf=3
OT: Le formule non si vedono perché il forum sta attraversando una fase di updating. A breve verrà ripristinato anche il sistema delle formule et similia.
"brignella":
ho trovato la matrice attraverso la base canonica, ottenendo
A= \$((7,12-k,1),(0,2,k-8),(0,0,k+1))\$
Bene.
Già da qui hai tutte le informazioni per stabilire l'iniettività e la suriettività dell'applicazione: la matrice è già ridotta per righe ed ha quindi rango \( 3 \) se \( k \ne -1 \), rango \( 2 \) altrimenti.
Da qui concludi immediatamente che se \( k \ne -1 \) l'endomorfismo è invertibile, altrimenti non è nè iniettivo, nè suriettivo.
"brignella":
Ho riscritto la matrice attraverso la formula del polinomio caratteristico, e ho calcolato il determinante con il metodo di La Place, ottenendo così:
Det(A)= \$(7-t)*(2-t)*(k-1-t)\$
Ho trovato quindi gli autovalori t=7, t=2 e t=k-1
C'è un errore: il determinante è
\[ \det\, A = (7 - t)\, (2 - t)\, (k + 1 - t) \]
e dunque il terzo autovalore è \( t_3 = k + 1 \).
Riprova a fare i conti tenendo conto di questo fatto.
Quello che mi interessava è proprio la discussione del determinante ahahah nel senso, in che modo discuto? Evidentemente non mi è molto chiara questa parte, perché quella di prima l'avevo fatta giusta.
Grazie mille per la pazienza
Mara
Grazie mille per la pazienza
Mara
"brignella":
Quello che mi interessava è proprio la discussione del determinante ahahah nel senso, in che modo discuto? Evidentemente non mi è molto chiara questa parte, perché quella di prima l'avevo fatta giusta.
Beh, in questo caso il polinomio caratteristico ha tutte radici reali, pertanto l'endomorfismo è semplice se i suoi autovalori sono tutti semplici, ma non basta: bisogna controllare anche il caso in cui non tutti lo siano.
Per quanto appena detto, se \( k \ne 1 \) e \( k \ne 6 \), allora \( f \) è semplice.
Ora devi studiare i casi \( k = 1 \) e \( k = 6 \), valutando le dimensioni degli autospazi relativi agli autovalori non semplici.
A te l'onore.
ti ringrazio
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