Dimostrazione teorema di Cramer
Io ho capito come funziona questo teorema e so quando utilizzarlo, però non mi è chiara la dimostrazione.
Ax=b
A è la matrice dei coefficienti, x è il vettore colonna delle incognite e b è il vettore colonna dei termini noti.
x = A^-1 * b
E fin qui ci sono. Ora non capisco perchè questo può scriversi anche come
xi= detAi/detA
dove Ai è la matrice dei coefficienti in cui la colonna i è stata sostituita dalla colonna b dei termini noti.
Ho provato a fare i conti, ma non mi torna.
Chi mi aiuta?
Grazie
Ax=b
A è la matrice dei coefficienti, x è il vettore colonna delle incognite e b è il vettore colonna dei termini noti.
x = A^-1 * b
E fin qui ci sono. Ora non capisco perchè questo può scriversi anche come
xi= detAi/detA
dove Ai è la matrice dei coefficienti in cui la colonna i è stata sostituita dalla colonna b dei termini noti.
Ho provato a fare i conti, ma non mi torna.
Chi mi aiuta?
Grazie
Risposte
Una risposta generalizzata e' difficile da postare
(poi se qualcuno ci riesce tanto meglio).
Mi limitero' quindi a darti un'idea nel caso molto
particolare di un sistema con due sole equazioni:
a11*x1+a12*x2=b1
a21*x1+a22*x2=b2.
Cominciamo col calcolare l'inversa della matrice dei coeff.
Come si sa,essa si ottiene:
1)sostituendo ad ogni suo elemento il corrispondente complemento algebrico diviso per il determinante della matrice(supposto non nullo)
2)facendo la trasposta della matrice cosi' ottenuta.
Nel caso nostro si ottiene la matrice:
+a22/detA......-a12/detA
-a21/detA......+a11/detA
Facciamo ora il prodotto, righe per colonne, di questa
matrice per la colonna dei termini noti ed otteniamo
la matrice (ad una sola colonna):
(a22*b1-a12*b2)/detA
(-a21*b1+a11*b2)/detA
La prima riga si puo' interpretare come il determinante cosi' fatto:
b1.......a12
b2.......a22
(il tutto diviso detA)
e questo determinante e' proprio x1.
Analogamente per x2:
a11.......b1
a21.......b2
(il tutto diviso detA).
Cio' prova il teorema;non ti sara' difficile generalizzare
il procedimento su questa base.
karl.
Modificato da - karl il 26/01/2004 20:35:20
(poi se qualcuno ci riesce tanto meglio).
Mi limitero' quindi a darti un'idea nel caso molto
particolare di un sistema con due sole equazioni:
a11*x1+a12*x2=b1
a21*x1+a22*x2=b2.
Cominciamo col calcolare l'inversa della matrice dei coeff.
Come si sa,essa si ottiene:
1)sostituendo ad ogni suo elemento il corrispondente complemento algebrico diviso per il determinante della matrice(supposto non nullo)
2)facendo la trasposta della matrice cosi' ottenuta.
Nel caso nostro si ottiene la matrice:
+a22/detA......-a12/detA
-a21/detA......+a11/detA
Facciamo ora il prodotto, righe per colonne, di questa
matrice per la colonna dei termini noti ed otteniamo
la matrice (ad una sola colonna):
(a22*b1-a12*b2)/detA
(-a21*b1+a11*b2)/detA
La prima riga si puo' interpretare come il determinante cosi' fatto:
b1.......a12
b2.......a22
(il tutto diviso detA)
e questo determinante e' proprio x1.
Analogamente per x2:
a11.......b1
a21.......b2
(il tutto diviso detA).
Cio' prova il teorema;non ti sara' difficile generalizzare
il procedimento su questa base.
karl.
Modificato da - karl il 26/01/2004 20:35:20
Anche io ho fatto così, infatti e sono arrivato al punto:
Non capisco cos'hai fatto dopo. Mi rispiegheresti questo punto:
Ti ringrazio
citazione:
(a22*b1-a12*b2)/detA
(-a21*b1+a11*b2)/detA
Non capisco cos'hai fatto dopo. Mi rispiegheresti questo punto:
citazione:
La prima riga si puo' interpretare come il determinante cosi' fatto:
b1.......a12
b2.......a22
(il tutto diviso detA)
e questo determinante e' proprio x1.
Analogamente per x2:
a11.......b1
a21.......b2
(il tutto diviso detA).
Ti ringrazio
Ahhh, ho capito da solo.
Grazie ancora.
Grazie ancora.
resuscito questo post per darti la dimostrazione completa del teorema di Cramer.
come hai detto, si ha x = A^(-1)b; ora, si dimostra che l'inversa di A è uguale a Agg(A)/det(A) dove la matrice aggiunta è la trasposta della matrice che si ottiene sostituendo ogni elemento a(ij) col suo complemento algebrico A(ij). quindi abbiamo x = Agg(A)b/det(A), che equivale ad:
| A(11)b(1) + A(21)b(2) + ......... + A(n1)b(n) |
1 | A(12)b(1) + A(22)b(2) + ......... + A(n2)b(n) |
x = ______ | ...... ..... ..... |
| |
det A | |
| |
| A(1n)b(1) + A(2n)b(2) + ......... + A(nn)b(n) |
osserviamo che nella generica i-esima riga c'è det(A(i)), dove A(i) è la matrice che si ottiene dalla A sostituendo l' i-esima colonna con la colonna dei termini noti; si ha pertanto:
| det A(1) |
1 | det A(2) |
x = _______ | ...... |
| |
det A | |
| det A(n) |
che equivale alla tesi.
ciao, ubermensch
come hai detto, si ha x = A^(-1)b; ora, si dimostra che l'inversa di A è uguale a Agg(A)/det(A) dove la matrice aggiunta è la trasposta della matrice che si ottiene sostituendo ogni elemento a(ij) col suo complemento algebrico A(ij). quindi abbiamo x = Agg(A)b/det(A), che equivale ad:
| A(11)b(1) + A(21)b(2) + ......... + A(n1)b(n) |
1 | A(12)b(1) + A(22)b(2) + ......... + A(n2)b(n) |
x = ______ | ...... ..... ..... |
| |
det A | |
| |
| A(1n)b(1) + A(2n)b(2) + ......... + A(nn)b(n) |
osserviamo che nella generica i-esima riga c'è det(A(i)), dove A(i) è la matrice che si ottiene dalla A sostituendo l' i-esima colonna con la colonna dei termini noti; si ha pertanto:
| det A(1) |
1 | det A(2) |
x = _______ | ...... |
| |
det A | |
| det A(n) |
che equivale alla tesi.
ciao, ubermensch
oddio perchè me l'ha scritto così!!!!
pazienza, sarà per la prossima volta..
pazienza, sarà per la prossima volta..
Ubermensch,ci sei cascato anche tu!Immagino la fatica che hai fatto
per allineare il tutto per bene.Bel risultato davvero!.
Non ti scoraggiare,alla prossima.
karl.
per allineare il tutto per bene.Bel risultato davvero!.
Non ti scoraggiare,alla prossima.
karl.
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