Dimostrazione teorema della dimensione
Salve a tutti,
ho una perplessità sulla parte conclusiva della dimostrazione del teorema della dimensione. Enuncio il teorema e ve la imposto:
"Data un'applicazione lineare $T:V^n rarr W^m$ , la dimensione dello spazio di partenza $V$ è uguale alla somma della dimensione del nucleo di $T$ con quella dell'immagine di $T$, cioè = $n = dim KerT+dim ImT$"
Intendo dimostrare l'enunciato partendo da una base del nucleo $(u_1,...,u_k)$ con $k
allora un generico vettore di $V$ si scrive $v = \lambda_1u_1+...+\lambda_ku_k+\lambda_(k+1)v_(k+1)+...+\lambda_nv_n$
allora:
$T(v) = \lambda_1T(u_1)+...+\lambda_kT(u_k)+\lambda_(k+1)T(v_(k+1))+...+\lambda_nT(v_n) = $
$ = 0+...+0+\lambda_(k+1)w_(k+1)+...+\lambda_nw_n$
ma $w_(k+1),...,w_n$ sono linearmente indipendenti, infatti si ha $\alpha_(k+1)w_(k+1)+...+\alpha_nw_n = 0$
allora $0 = \alpha_(k+1)T(v_(k+1))+...+\alpha_nT(v_n) = T(\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n)$
e dunque $\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n in KerT$ (e fino a qui tutto ok)
Poi mi trovo scritto:
"conclusione: $\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n = \alpha_1u_1+...+\alpha_ku_k rArr $ tutti i $\alpha_i$ sono 0 e dunque
$n = dim KerT+dim ImT$ ."
Queste ultime due righe non le ho capite, dopo che ho visto che quel vettore che viene da somme appartiene al nucleo e quindi si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base del nucleo che ho stabilito all'inizio, come arrivo alla conclusione che tutti i coefficienti sono 0?E cosa c'entra questo con la formula? Come ci arrivo?
Spero possiate aiutarmi! Grazie in anticipo come sempre
Valentina
ho una perplessità sulla parte conclusiva della dimostrazione del teorema della dimensione. Enuncio il teorema e ve la imposto:
"Data un'applicazione lineare $T:V^n rarr W^m$ , la dimensione dello spazio di partenza $V$ è uguale alla somma della dimensione del nucleo di $T$ con quella dell'immagine di $T$, cioè = $n = dim KerT+dim ImT$"
Intendo dimostrare l'enunciato partendo da una base del nucleo $(u_1,...,u_k)$ con $k
allora un generico vettore di $V$ si scrive $v = \lambda_1u_1+...+\lambda_ku_k+\lambda_(k+1)v_(k+1)+...+\lambda_nv_n$
allora:
$T(v) = \lambda_1T(u_1)+...+\lambda_kT(u_k)+\lambda_(k+1)T(v_(k+1))+...+\lambda_nT(v_n) = $
$ = 0+...+0+\lambda_(k+1)w_(k+1)+...+\lambda_nw_n$
ma $w_(k+1),...,w_n$ sono linearmente indipendenti, infatti si ha $\alpha_(k+1)w_(k+1)+...+\alpha_nw_n = 0$
allora $0 = \alpha_(k+1)T(v_(k+1))+...+\alpha_nT(v_n) = T(\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n)$
e dunque $\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n in KerT$ (e fino a qui tutto ok)
Poi mi trovo scritto:
"conclusione: $\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n = \alpha_1u_1+...+\alpha_ku_k rArr $ tutti i $\alpha_i$ sono 0 e dunque
$n = dim KerT+dim ImT$ ."
Queste ultime due righe non le ho capite, dopo che ho visto che quel vettore che viene da somme appartiene al nucleo e quindi si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base del nucleo che ho stabilito all'inizio, come arrivo alla conclusione che tutti i coefficienti sono 0?E cosa c'entra questo con la formula? Come ci arrivo?
Spero possiate aiutarmi! Grazie in anticipo come sempre
Valentina
Risposte
spero di aiutarti.
allora da
ottieni che i $w_j$ sono un sistema di generatori per l'immagine di T. Ti rimane da far vedere che sono lin indipendenti e così da
cioè esistono $\beta_1,..,\beta_k$ tali che $\beta_1 u_1+...+\beta_k u_k=\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n$
dunque
$\beta_1 u_1+...+\beta_k u_k-(\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n)=0$ e visto che $u_i$ $v_j$ è una base ottieni che
$\alpha_j=0$
allora da
"valentina92":
$T(v) = \lambda_1T(u_1)+...+\lambda_kT(u_k)+\lambda_(k+1)T(v_(k+1))+...+\lambda_nT(v_n) = $
$ = 0+...+0+\lambda_(k+1)w_(k+1)+...+\lambda_nw_n$
Valentina
ottieni che i $w_j$ sono un sistema di generatori per l'immagine di T. Ti rimane da far vedere che sono lin indipendenti e così da
"valentina92":
infatti si ha $\alpha_(k+1)w_(k+1)+...+\alpha_nw_n = 0$
allora $0 = \alpha_(k+1)T(v_(k+1))+...+\alpha_nT(v_n) = T(\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n)$
e dunque $\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n in KerT$
Valentina
cioè esistono $\beta_1,..,\beta_k$ tali che $\beta_1 u_1+...+\beta_k u_k=\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n$
dunque
$\beta_1 u_1+...+\beta_k u_k-(\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n)=0$ e visto che $u_i$ $v_j$ è una base ottieni che
$\alpha_j=0$
Innanzi tutto grazie per la risposta.
ottieni che i $w_j$ sono un sistema di generatori per l'immagine di T. [/quote]
Come faccio a sapere che sono un sistema di generatori se non conosco la dimensione dell'immagine? Questa non potreebbe essere maggiore di questo numero di vettori, che quindi non costituirebbero un sistema di generatori?
La prima uguaglianza è perchè posso esprimere il vettore a destra dell'uguale come combinazione lineare della base del nucleo?(l'avevo detto prima, ma in effetti non ero sicurissima che fosse per questo)
E invece l'ultima uguaglianza sta a significare che quei vettori sono linearmente indipendenti? Cioè, perchè anche $v_j$ è una base? di cosa?
"miuemia":
[quote="valentina92"]
$T(v) = \lambda_1T(u_1)+...+\lambda_kT(u_k)+\lambda_(k+1)T(v_(k+1))+...+\lambda_nT(v_n) = $
$ = 0+...+0+\lambda_(k+1)w_(k+1)+...+\lambda_nw_n$
ottieni che i $w_j$ sono un sistema di generatori per l'immagine di T. [/quote]
Come faccio a sapere che sono un sistema di generatori se non conosco la dimensione dell'immagine? Questa non potreebbe essere maggiore di questo numero di vettori, che quindi non costituirebbero un sistema di generatori?
"miuemia":
cioè esistono $\beta_1,..,\beta_k$ tali che $\beta_1 u_1+...+\beta_k u_k=\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n$
dunque
$\beta_1 u_1+...+\beta_k u_k-(\alpha_(k+1)v_(k+1)+...+\alpha_nv_n)=0$ e visto che $u_i$ $v_j$ è una base ottieni che
$\alpha_j=0$
La prima uguaglianza è perchè posso esprimere il vettore a destra dell'uguale come combinazione lineare della base del nucleo?(l'avevo detto prima, ma in effetti non ero sicurissima che fosse per questo)
E invece l'ultima uguaglianza sta a significare che quei vettori sono linearmente indipendenti? Cioè, perchè anche $v_j$ è una base? di cosa?
$w_{k+1},...,w_n$ sono un sistema di generatori per l'immagine in virtù del fatto che se hai una base, in questo caso
$u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_n$, allora $Im(T)=Span(T(u_1),...,T(u_k),T(v_{k+1}),...,T(v_n))=Span(T(v_{k+1}),...,T(v_n))$ visto che
$T(u_i)=0$. Quindi $w_{k+1},...,w_n$ sono un sistema di generatori, ma ancora non sai se sono una base per Im(T) e per vedere ciò devi dimostrare che sono linearmente indipendenti e quindi saranno un sistema di generatori linearmente indipendenti cioè una base.
"La prima uguaglianza è perchè posso esprimere il vettore a destra dell'uguale come combinazione lineare della base del nucleo?"
La puoi scrivere perchè hai che il vettore a destra sta nel nucleo e quindi lo puoi esprimere come una combinazione lineare di elementi della base del nucleo.
"E invece l'ultima uguaglianza sta a significare che quei vettori sono linearmente indipendenti? Cioè, perchè anche vj è una base? di cosa?"
NO. L'ultima uguaglianza rappresenta una combinazione lineare nulla della base $u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_n$ e visto che è una base hai che tutti i coefficienti sono nulli in particolare i $\alpha_j$
ma tu eri partita da $\alpha_{k+1}w_{k+1}+...+\alpha_n w_n=0$ (per far vedere se i $w_j$ fossero lin indipendenti).
E lo sono visto che gli $\alpha_j=0$ per $j=k+1,...,n$. Dunque i $w_{k+1},...,w_n$ sono una base dell'immagine.
$u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_n$, allora $Im(T)=Span(T(u_1),...,T(u_k),T(v_{k+1}),...,T(v_n))=Span(T(v_{k+1}),...,T(v_n))$ visto che
$T(u_i)=0$. Quindi $w_{k+1},...,w_n$ sono un sistema di generatori, ma ancora non sai se sono una base per Im(T) e per vedere ciò devi dimostrare che sono linearmente indipendenti e quindi saranno un sistema di generatori linearmente indipendenti cioè una base.
"La prima uguaglianza è perchè posso esprimere il vettore a destra dell'uguale come combinazione lineare della base del nucleo?"
La puoi scrivere perchè hai che il vettore a destra sta nel nucleo e quindi lo puoi esprimere come una combinazione lineare di elementi della base del nucleo.
"E invece l'ultima uguaglianza sta a significare che quei vettori sono linearmente indipendenti? Cioè, perchè anche vj è una base? di cosa?"
NO. L'ultima uguaglianza rappresenta una combinazione lineare nulla della base $u_1,...,u_k,v_{k+1},...,v_n$ e visto che è una base hai che tutti i coefficienti sono nulli in particolare i $\alpha_j$
ma tu eri partita da $\alpha_{k+1}w_{k+1}+...+\alpha_n w_n=0$ (per far vedere se i $w_j$ fossero lin indipendenti).
E lo sono visto che gli $\alpha_j=0$ per $j=k+1,...,n$. Dunque i $w_{k+1},...,w_n$ sono una base dell'immagine.
Aaah perfetto, adesso ho capito tutto. Grazie mille davvero!
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