Dimostrazione Rouchè-Capelli.
salve...sto cercando di capire i sistemi di equazioni lineari...in particolare il teorema di Rouchè-Capelli.
in internet ho visto questa dimostrazione del fatto che esiste almeno una soluzione:
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però non la capisco proprio...potete argomentarla un po di più? cioè sprecare qualche parola in più?
grazie mille!
in internet ho visto questa dimostrazione del fatto che esiste almeno una soluzione:
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però non la capisco proprio...potete argomentarla un po di più? cioè sprecare qualche parola in più?
grazie mille!
Risposte
Dipende in gran parte dalle tue conoscenze dell'algebra lineare. La dimostrazione che hai riportato è chiarissima non appena si sia svolta la teoria riguardante le applicazioni lineari; immagino dunque che tu non le abbia ancora viste... Sbaglio?
si ho già studiato tutti gli argomenti che usa nella dimostrazione...però non capisco certe cose
ad esempio:
- so che il rango è la dimensione del sottosp. vettoriale generato dalle colonne della matrice...ma da questo come faccio a dire che è anche il max numero di colonne lin. indipendenti?
- perchè dice "quindi (il rango) è la dimensione dell'immagine dell'applicazione associata alla matrice M "? che vuol dire? da cosa si deduce?
come argomenti li ho già fatti ma non ho mai visto queste relazioni...e, evidentemente, non ci arrivo da solo!
ad esempio:
- so che il rango è la dimensione del sottosp. vettoriale generato dalle colonne della matrice...ma da questo come faccio a dire che è anche il max numero di colonne lin. indipendenti?
- perchè dice "quindi (il rango) è la dimensione dell'immagine dell'applicazione associata alla matrice M "? che vuol dire? da cosa si deduce?
come argomenti li ho già fatti ma non ho mai visto queste relazioni...e, evidentemente, non ci arrivo da solo!
Ok...
Allora, noi abbiamo una matrice [tex]M[/tex], diciamo di n righe e m colonne. Pertanto possiamo riguardare [tex]M[/tex] come un'applicazione tra [tex]\mathbb R^m \to \mathbb R^n[/tex]. Sappiamo anche che l'immagine di [tex]M[/tex] è generata dai vettori [tex]M \mathbf e_i[/tex], che sono esattamente le colonne della matrice [tex]M[/tex]; pertanto l'immagine della nostra applicazione lineare è generata dalle colonne della nostra matrice; quindi il rango della matrice è la dimensione dell'immagine della nostra matrice; per il teorema di estrazione di una base, sappiamo che dal nostro insieme di generatori (= le colonne di M) dobbiamo poter estrarre una base; quindi abbiamo almeno [tex]\text{rank}(M)[/tex] colonne linearmente indipendenti. Non possiamo averne di più, perché altrimenti avremmo almeno [tex]\text{rank}(M) + 1[/tex] vettori indipendenti in uno spazio vettoriale di dimensione [tex]\text{rank}(M)[/tex], e questo è assurdo.
Ti è un po' più chiara adesso?
Allora, noi abbiamo una matrice [tex]M[/tex], diciamo di n righe e m colonne. Pertanto possiamo riguardare [tex]M[/tex] come un'applicazione tra [tex]\mathbb R^m \to \mathbb R^n[/tex]. Sappiamo anche che l'immagine di [tex]M[/tex] è generata dai vettori [tex]M \mathbf e_i[/tex], che sono esattamente le colonne della matrice [tex]M[/tex]; pertanto l'immagine della nostra applicazione lineare è generata dalle colonne della nostra matrice; quindi il rango della matrice è la dimensione dell'immagine della nostra matrice; per il teorema di estrazione di una base, sappiamo che dal nostro insieme di generatori (= le colonne di M) dobbiamo poter estrarre una base; quindi abbiamo almeno [tex]\text{rank}(M)[/tex] colonne linearmente indipendenti. Non possiamo averne di più, perché altrimenti avremmo almeno [tex]\text{rank}(M) + 1[/tex] vettori indipendenti in uno spazio vettoriale di dimensione [tex]\text{rank}(M)[/tex], e questo è assurdo.
Ti è un po' più chiara adesso?
cosa intendi per [tex]M \mathbf e_i[/tex]?
Intendo l'immagine, mediante l'applicazione lineare associata alla matrice [tex]M[/tex] del vettore [tex]\mathbf{e}_i = (0, \ldots, 1, \ldots, 0) \in \mathbb R^m[/tex]; ossia il prodotto righe per colonne della matrice [tex]M[/tex] per il vettore colonna
[tex]\left(\begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right) \in \mathbb R^m[/tex]
[tex]\left(\begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right) \in \mathbb R^m[/tex]
ci ho messo un po ma alla fine ho capito...grazie mille!
Figurati! Felice di esserti stato d'aiuto!
ultima cosa... intendi che l'immagine è generata da m immagini, secondo l'applicazione lineare associata alla matrice, degli m vettori $e_i$ della base canonica di $\mathbb R^m$, che (mi rendo conto) sono le colonne di M?
cioè $Im(M)= = = $
se si...perchè? cioè perchè l'immagine dovrebbe essere generata da tali immagini?
scusa se rompo tanto ma mi è proprio complessa sta materia
cioè $Im(M)=
se si...perchè? cioè perchè l'immagine dovrebbe essere generata da tali immagini?
scusa se rompo tanto ma mi è proprio complessa sta materia
Sì è esattamente quello che intendo. Il motivo è ovvio: supponiamo che [tex]\mathbf w \in \text{Im}(M)[/tex]. Allora, per definizione, [tex]\mathbf{w} = L_M(\mathbf{v})[/tex] per qualche [tex]\mathbf v \in \mathbb R^m[/tex] (ho usato le tue notazioni). D'altra parte se [tex]\mathbf v = (v_1, \ldots, v_m)[/tex] allora [tex]\mathbf v = v_1 \mathbf e_1 + \ldots + v_m \mathbf e_m[/tex], sicché, usando la linearità, otteniamo [tex]\mathbf w = L_M(\mathbf v) = v_1 L_M(\mathbf e_1) + \ldots + v_m L_M(\mathbf e_m)[/tex], e quindi [tex]\text{Im}(M) = \langle L_M(\mathbf e_1), \ldots, L_M(\mathbf e_m) \rangle[/tex].
Non preoccuparti, è un po' ostica per tutti all'inizio. Vedrai che se continui a studiarla assiduamente (e a fare esercizi) diventerà la cosa più naturale del mondo!
Non preoccuparti, è un po' ostica per tutti all'inizio. Vedrai che se continui a studiarla assiduamente (e a fare esercizi) diventerà la cosa più naturale del mondo!
accidenti è vero...lo avevo dimostrato per esercizio qualche tempo fa...ah si vede che oggi sono fuso ormai e non riesco più a ragionare bene 
grazie mille ancora!
grazie mille ancora!
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