Dimostrazione proprietà rango-sistema di generatori

[LS005]

Salve ragazzi,
Devo dimostrare questa proprietà:

Sono equivalenti le due proposizioni:
a) v1, v2, ... ,vn $ in RR ^ m $ costituiscono un sistema di generatori di $ RR ^ m $
b) rank([v1, v2, ... ,vn]) = m (Numero di righe della matrice)

Ho dimostrato a $ a -> b $ così:
Dalla a segue che ogni elemento di $ RR ^ m $ può esprimersi come combinazione lineare dei vettori v1, v2, ... ,vn cioè il sistema lineare $ A * bar (x) = bar (v) $. Quindi essendo il sistema compatibile per il teorema di Rouché-Capelli risulta:
$ rank(A) = rank([A, bar(v)]) $

Devo dimostrare $ b -> a $
Potete darmi una mano?

P.s.: Correggetemi se ho sbagliato la prima dimostrazione

[dissonance]

Mi sa che pure l'altra implicazione è molto simile, vai di teorema di Rouché Capelli. Prova un po', vedi che succede.

[LS005]

"dissonance":Mi sa che pure l'altra implicazione è molto simile, vai di teorema di Rouché Capelli. Prova un po', vedi che succede.

Ma la prima è corretta?

[_prime_number]

Nella prima dimostrazione non hai dimostrato che il rango è $m$. Va tutto bene ma la conclusione è che, per Rouché Capelli, si ha $rank A =$numero delle incognite$=m$.
Nell'implicazione inversa semplicemente prendi un qualunque vettore $w=(w_1,...,w_m)\in\mathbb{R}^m$ e analizza il sistema $Ax=w$. Hai un'importante informazione sul rango di $A$, quindi puoi applicare Rouché Capelli per vedere se ha soluzione o no...

Paola

[LS005]

"prime_number":Nella prima dimostrazione non hai dimostrato che il rango è $m$. Va tutto bene ma la conclusione è che, per Rouché Capelli, si ha $rank A =$numero delle incognite$=m$.
Nell'implicazione inversa semplicemente prendi un qualunque vettore $w=(w_1,...,w_m)\in\mathbb{R}^m$ e analizza il sistema $Ax=w$. Hai un'importante informazione sul rango di $A$, quindi puoi applicare Rouché Capelli per vedere se ha soluzione o no...

Paola

Ma non dovrei dimostrare che $ w_1,....,w_n $ costituiscono un sistema di generatori di $ RR ^ m $?

[_prime_number]

Devi dimostrare che $v_1,...,v_n$ sono generatori di $\mathbb{R}^m$, ovvero che qualunque vettore $w\in\mathbb{R}^m$ è scrivibile come loro combinazione lineare, ovvero che il sistema $Ax=w$, con $A$ costruita come sopra, ha soluzione (non necessariamente unica).

Paola

[LS005]

Scusate ragazzi ma mi sono bloccato.
Ho scritto semplicemente:

Essendo $ rank(v = [v_1, v_2, ... ,v_n]) = m $ per il teorema di Rouché-Capelli il sistema Ax = v con $ A = [v_1, v_2,...v_n] $ e $ x = [x_1, x_2, ... x_n] $ è compatibile se e solo se il $ rank(A) = rank(A,v) = m $ solo che non conosco il rank(A,v)....

[_prime_number]

Se sai che quei vettori sono generatori allora $w$ sarà loro combinazione lineare quindi $rank(A)=rank(A|w)$.
Se sai invece che $rank(A)=m$ per come è costruita la matrice $A|w$ il rango può essere al massimo $m$, quindi anche in questo caso $rank(A)=rank(A|w)$ (poichè $A$ è "contenuta" in $A|w$).

Paola