Dimostrazione per la Formula di Grassmann Affine

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18 mar 2010, 20:15

Ho cercato per una buona mezzora in rete, senza trovare nessun risultato. Mi servirebbe una dimostrazione della formula di Grassmann affine, ovvero che in uno spazio affine [tex]A^n[/tex] vale:
[tex]dim(L \vee M) \leq dim L + dim M - dim (L \cap M).[/tex]
Dove L ed M sono sottovarità lineari.
Un grazie anticipato a chiunque voglia postare la dimostrazione, parte di essa, oppure mi consigli un file su cui è spiegata...

Risposte

cirasa

18 mar 2010, 20:23

Le due sottovarietà sono individuate da un punto base e dallo spazio direttore.
Supponiamo che [tex]L\sim(A,V)[/tex] e [tex]M\sim(B,W)[/tex] dove [tex]A\in L[/tex], [tex]B\in W[/tex] e [tex]V,W[/tex] sono gli spazi direttori di [tex]L, M[/tex] risp.
Dovresti sapere che [tex]L\vee M\sim(A,V+W+\overline{AB})[/tex], quindi
(1) [tex]\dim(L\vee M)=\dim(V+W+\overline{AB})[/tex].
Inoltre [tex]\dim(L\cap M)=\dim(V\cap W)[/tex].

Per la dimostrazione distingui i due casi:
a) [tex]L\vee M\neq\emptyset[/tex]
b) [tex]L\vee M=\emptyset[/tex]
Nel primo caso, prova che [tex]\overline{AB}\in V+W[/tex]. Quindi
(2) [tex]V+W+\overline{AB}=V+W[/tex].
Nel secondo caso, prova (per esempio per assurdo) che [tex]\overline{AB}\notin V+W[/tex]. Quindi
(3) [tex](V+W)\cap<\overline{AB}>=\{0\}[/tex].
Ora devi solo usare la (1), l'identità di Grassmann e la (2) oppure la (3) a seconda dei casi.
Nel primo caso dovresti ottenere che
[tex]\dim(L\vee M)=\dim L+\dim M-\dim(L\cap M)[/tex].
Nel secondo caso
[tex]\dim(L\vee M)=\dim L+\dim M-\dim(L\cap M)+1[/tex].
Prova un po'. Se hai problemi facci sapere.