Dimostrazione indipendenza lineare

[franbisc]

Ciao a tutti
Mi aiutate a dimostrare che i vettori $v,w,u$ di $RR^n$ sono linearmente indipendenti se e solo se lo sono i vettori $v+w,v+u,u+w$ ?

[Sk_Anonymous]

Dovresti proporre almeno un tentativo di risoluzione.
In ogni modo, basta considerare la seguente matrice: $((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))$

[franbisc]

"speculor":basta considerare la seguente matrice: $((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))$

Ok,intuitivamente è evidente il legame tra questa matrice e i 3 vettori somma u+v ecc...,ma come ci si arriva formalmente.
E inoltre basta verificare che il rango di questa matrice sia 3 per dimostrare che i 3 vettori riga sono linearmente indipendenti,ma da qui non riesco a dimostrare che lo sono v,u e w

[Lorenzo6880]

Se costruisci il sistema omogeneo le cui tre equazioni sono i tre vettori e trascrivi la matrice incompleta relativa a quel sistema, ottieni la matrice consigliata da speculor.

$ ( ( v , w , u ),( 1, 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $

Ovviamente la prima riga ti indica solo i coefficienti e non è da inserire.

[franbisc]

A questo punto direi che basta dimostrare che il rango della matrice è 3 perchè questo significa che sono linearmente indipendenti sia i 3 vettori colonna (u,w e v),sia i 3 vettori riga dati dalle somme di questi,giusto?

[Lorenzo6880]

Io direi di si o per lo meno farei così...