Dimostrazione formula di Grassmann

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti, va bene come svolgo la dimostrazione della formula di Grassmann?
Sia ${b_1...b_r}$ una base del sottospazio $ U nn W $ , sia ${b_1...b_r, u_1...u_s}$ una base del sottospazio $U$ e sia ${b_1...b_r, w_1...w_t}$ una base del sottospazio $W$. Completando la base dello spazio intersezione ad una base dello spazio $U$ e $W$, ottengo la base ${b_1...b_r, u_1...u_s, w_1...w_t}$. Poichè questa è una base dello spazio somma $U+W$ (perchè, non ho capito questa affermazione), si può scrivere la relazione: $dim(U+W)=r+s+t=(r+s)+(r+t)-r=dimU+dimW-dim(UnnW)$. Potete dirmi se va bene la dimostrazione e potete spiegarmi quello che ho scritto tra parentesi? Grazie mille

[orazioster]

Un generico vettore del sottospazio $U+W$ è $(u)+(w)$
e
$u=(\alpha_1u_1+...+\alph_su_s +\beta_1b_1+...\beta_rb_r)$
e
$v=(\gamma_1b_1+...+\gamma_rb_r+\delta_1w_1+...+\delta_tw_t)$

Così $u+w=(\alpha_1u_1+...+\alpha_su_s +(\beta_1+\gamma_1)b_1+...(\beta_r+\gamma_r)b_r+\delta_1w_1+...+\delta_tw_t)$.

Vedi che la base ${b_1,...,b_b,u_1,...,u_s,w_1,...,w_t}$ è una base di $U+W$
che ha allora la dimensione: $(r+s+t)$=(dimensione di $U$:$(r+s)$ )+(dimensione di $W$:$(s+t)$)-(dimensione di$UnnW$:$s$).

[Sk_Anonymous]

"orazioster":Un generico vettore del sottospazio $U+W$ è $(u)+(w)$
e
$u=(\alpha_1u_1+...+\alph_su_s +\beta_1b_1+...\beta_rb_r)$
e
$v=(\gamma_1b_1+...+\gamma_rb_r+\delta_1w_1+...+\delta_tw_t)$

Così $u+w=(\alpha_1u_1+...+\alpha_su_s +(\beta_1+\gamma_1)b_1+...(\beta_r+\gamma_r)b_r+\delta_1w_1+...+\delta_tw_t)$.

Vedi che la base ${b_1,...,b_b,u_1,...,u_s,w_1,...,w_t}$ è una base di $U+W$
che ha allora la dimensione: $(r+s+t)$=(dimensione di $U$:$(r+s)$ )+(dimensione di $W$:$(s+t)$)-(dimensione di$UnnW$:$s$).

Ok, grazie, ma va bene la dimostrazione che ho scritto?

[Sk_Anonymous]

up!

[orazioster]

sì -la dimostrazione è quella. Volevo rispondere al tuo dubbio, del perchè
quella sia una base di $U+V$