Dimostrazione di proclo V postulato
Buongiorno a tutti!!
Volevo inserire la dimostrazione di proclo nella tesina di maturità, ma non sono sicuro di averla capita in pieno.. qualcuno potrebbe seguire il ragionamento e dirmi se è corretto? grazie mille:)! Il disegno della dimostrazione l'ho postato qui http://img813.imageshack.us/i/proclo.jpg/ (scusate beneficio di inventario)
Allora proclo prese per assodato che per P passasse una sola retta parallela alla retta r e la chiama m. Quindi ogni altra retta diversa da m deve tagliare la retta r, dimostrando così che m è l'unica retta parallela. Considera quindi un'altra retta n diversa da m e proietta il punto P su r e lo chiama Q. La retta n non è la retta passante per P e Q, ma è un altra retta generica in cui prende un punto Y e lo proietta su m trovando il punto Z. Ora si accorge che più posta il punto Y alla sua destra più cresce la distanza YZ , ma essendo PQ un valore costante essendo m // r , si arriverà al punto in cui YZ = PQ e quindi la retta generica n interseca la retta r, dimostrando così che m è l'unica della parallela.
Giusto?? non mi convince tanto l'ultimo passaggio di YZ..
Inoltre..alla fine dimostra l'enunciato di Playfair(" Per un punto esterno ad una retta r, passa solamenta una retta m // a r), ma non dimostra il V postulato :-S giusto?
Grazie a chiunque risponda. Buonagiornata!
Volevo inserire la dimostrazione di proclo nella tesina di maturità, ma non sono sicuro di averla capita in pieno.. qualcuno potrebbe seguire il ragionamento e dirmi se è corretto? grazie mille:)! Il disegno della dimostrazione l'ho postato qui http://img813.imageshack.us/i/proclo.jpg/ (scusate beneficio di inventario)
Allora proclo prese per assodato che per P passasse una sola retta parallela alla retta r e la chiama m. Quindi ogni altra retta diversa da m deve tagliare la retta r, dimostrando così che m è l'unica retta parallela. Considera quindi un'altra retta n diversa da m e proietta il punto P su r e lo chiama Q. La retta n non è la retta passante per P e Q, ma è un altra retta generica in cui prende un punto Y e lo proietta su m trovando il punto Z. Ora si accorge che più posta il punto Y alla sua destra più cresce la distanza YZ , ma essendo PQ un valore costante essendo m // r , si arriverà al punto in cui YZ = PQ e quindi la retta generica n interseca la retta r, dimostrando così che m è l'unica della parallela.
Giusto?? non mi convince tanto l'ultimo passaggio di YZ..
Inoltre..alla fine dimostra l'enunciato di Playfair(" Per un punto esterno ad una retta r, passa solamenta una retta m // a r), ma non dimostra il V postulato :-S giusto?
Grazie a chiunque risponda. Buonagiornata!
Risposte
Non è una dimostrazione quanto un tentativo di dimostrazione. La geometria iperbolica infatti ammette infinite parallele ad una retta data. In particolare esistono rette che si avvicinano asintoticamente alla retta data senza però mai raggiungerla (a rigore si dice che si incontrano all'infinito).
La validità del tentativo è piuttosto scadente direi, soprattutto nel modo in cui l'hai scritto tu. Ci sono molti punti deboli della dimostrazione e nessun passaggio formalmente valido nella geometria neutrale (o assoluta). In pratica ti fidi troppo dell'occhio e ti basi troppo poco sulle proprietà degli oggetti matematici.
Detto questo l'enunciato di Playfair, che viene generalmente usato al posto del V postulato, è più forte del V postulato e infatti lo implica.
La validità del tentativo è piuttosto scadente direi, soprattutto nel modo in cui l'hai scritto tu. Ci sono molti punti deboli della dimostrazione e nessun passaggio formalmente valido nella geometria neutrale (o assoluta). In pratica ti fidi troppo dell'occhio e ti basi troppo poco sulle proprietà degli oggetti matematici.
Detto questo l'enunciato di Playfair, che viene generalmente usato al posto del V postulato, è più forte del V postulato e infatti lo implica.
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