Dimostrazione della direzione di due vettori
Buongiorno,
potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio?
"Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$,
dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno
direzioni opposte."
Geometricamente lo so che è così, è ovvio, però io vorrei proprio la dimostrazione algebrica, quindi devo arrivare a dimostrare che esiste un numero reale $c>0$ ($c<0$, nel secondo caso) tale che $cA = B$.
Io so che $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$, però una volta sostituito a $cos(vartheta)$ 1 o -1 non so come andare avanti...
potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio?
"Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$,
dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno
direzioni opposte."
Geometricamente lo so che è così, è ovvio, però io vorrei proprio la dimostrazione algebrica, quindi devo arrivare a dimostrare che esiste un numero reale $c>0$ ($c<0$, nel secondo caso) tale che $cA = B$.
Io so che $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$, però una volta sostituito a $cos(vartheta)$ 1 o -1 non so come andare avanti...
Risposte
"ErMaestro":
Buongiorno,
potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio?
"Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$,
dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno
direzioni opposte."
Geometricamente lo so che è così, è ovvio, però io vorrei proprio la dimostrazione algebrica, quindi devo arrivare a dimostrare che esiste un numero reale $c>0$ ($c<0$, nel secondo caso) tale che $cA = B$.
Io so che $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$, però una volta sostituito a $cos(vartheta)$ 1 o -1 non so come andare avanti...
Hai che $B*B=||B||^2=||B||||B||=||B||/||A||A*B$, da cui $(B-||B||/||A||A)*B=0$, poi continua tu...
"andreadel1988":
[quote="ErMaestro"]Buongiorno,
potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio?
"Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$,
dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno
direzioni opposte."
Geometricamente lo so che è così, è ovvio, però io vorrei proprio la dimostrazione algebrica, quindi devo arrivare a dimostrare che esiste un numero reale $c>0$ ($c<0$, nel secondo caso) tale che $cA = B$.
Io so che $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$, però una volta sostituito a $cos(vartheta)$ 1 o -1 non so come andare avanti...
Hai che $B*B=||B||^2=||B||||B||=||B||/||A||A*B$, da cui $(B-||B||/||A||A)*B=0$, poi continua tu...[/quote]
Premessa:
Ho letto il suggerimento che mi avevi dato prima...
Da qui ho che $(B-||B||/||A||A)*B=0$ implica $B-||B||/||A||A=0$, quindi $B=||B||/||A||A$. Perciò, esiste uno $c=||B||/||A||$ ($c>0$ perchè il rapporto di due numeri maggiori di 0) tale che $cA=B$.
Lo stesso ragionamento lo faccio per l'altro caso, dove però abbiamo che $A*B=-||A||||B||$. Quindi si arriverà a $(B+||B||/||A||A)*B=0$ il quale implica $B=-||B||/||A||A$. Quindi esiste uno $c=-||B||/||A||$ ($c<0$ perchè il rapporto di due numeri maggiori di 0 cambiato di segno) tale che $cA=B$.
c.v.d.
E' tutto giusto?
Quindi la formula $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$ vale (oltre che nel piano) in un qualsiasi n-spazio?
P.S.:
Per il passaggio chiave quindi devo dimostrare che dati due vettori $X$, $Y$, se $X-Y$ è ortogonale a $X$ (quindi $(X-Y)*X=0$) allora $X=Y$... come si fa?
Prova a vedere se riesci a trovare un modo, in caso mi dici, però prova tu prima...
L'unica cosa che mi viene da fare è svolgere il prodotto fino ad arrivare $X*X=Y*X$, e da qui dire che questa uguaglianza è vera solo se $X=Y$, ma non so se è così semplice.. ahahaha
"ErMaestro":
$X*X=Y*X$, e da qui dire che questa uguaglianza è vera solo se $X=Y$, ma non so se è così semplice.. ahahaha
No questo non è vero considera ad esempio il vettore $X=((1),(0))$ e $Y=((1),(1))$ si ha che $X*X=X*Y=1$ ma $X!=Y$. In effetti non ero sicuro del suggerimento e l'ho cancellato, devo rivedere bene come fare che non sto a casa ora, scusami.
"andreadel1988":
[quote="ErMaestro"]$X*X=Y*X$, e da qui dire che questa uguaglianza è vera solo se $X=Y$, ma non so se è così semplice.. ahahaha
No questo non è vero considera ad esempio il vettore $X=((1),(0))$ e $Y=((1),(1))$ si ha che $X*X=X*Y=1$ ma $X!=Y$. In effetti non ero sicuro del suggerimento e l'ho cancellato, devo rivedere bene come fare che non sto a casa ora, scusami.[/quote]
Ah, allora la dimostrazione è sbagliata...(?)
Comunque okay, va bene, quando puoi fammi sapere, tranquillo. Anzi, grazie mille
Ripartiamo da $(B-||B||/||A||A)*B=0$, supponi per assurdo che $(B-||B||/||A||A)$ è un vettore non nullo e vedi cosa succede se fai $(B-||B||/||A||A)*(B-||B||/||A||A)!=0$ ...
"andreadel1988":
Ripartiamo da $(B-||B||/||A||A)*B=0$, supponi per assurdo che $(B-||B||/||A||A)$ è un vettore non nullo e vedi cosa succede se fai $(B-||B||/||A||A)*(B-||B||/||A||A)!=0$ ...
Abbiamo che $(B-||B||/||A||A)*(B-||B||/||A||A)>0$ perchè il prodotto scalare di un vettore non nullo con se stesso è sempre maggiore di zero. Sviluppando la disuguaglianza abbiamo $||B||^2-2||B||/||A||A*B + ||B||^2/||A||^2||A||^2>0$; quindi, sapendo che $A*B=||A||||B||$, si arriva ad $2||B||^2-2||B||^2>0$, quindi $0>0$, il che è assurdo!!! Questo perchè abbiamo assunto il vettore $(B-||B||/||A||A)$ non nullo, quindi in realtà deve essere nullo, (il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale a 0 solo se il vettore è nullo). Perciò, $(B-||B||/||A||A)=0$ e da qui riprende la dimostrazione che ho fatto prima.
Nell'altro caso invece si fanno le stesse considerazioni ma con il vettore $(B+||B||/||A||A)$ e si arriva alle stesse conclusioni. E' tutto corretto, vero???
Grazie mille!
Un ultima cosa:
quindi la formula $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$ è valida sempre? Nel piano, quindi in due dimensioni, so che è così.. ma anche (come dice l'esercizio) se mi trovo in un $n$-spazio qualsiasi? Voglio essere sicuro perchè parte tutto da questa formula ahahaha ma credo lo sia, dato che non mi hai obiettato su questo...
Se vuoi ripulire la dimostrazione puoi semplicemente partire dal fatto che $||(B-||B||/||A||A)||=0$ ( e lo mostri come hai fatto tu) ma allora necessariamente $(B-||B||/||A||A)=0$ da cui la tesi.
"ErMaestro":
Un ultima cosa:
quindi la formula $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$ è valida sempre? Nel piano, quindi in due dimensioni, so che è così.. ma anche (come dice l'esercizio) se mi trovo in un $n$-spazio qualsiasi? Voglio essere sicuro perchè parte tutto da questa formula ahahaha ma credo lo sia, dato che non mi hai obiettato su questo...
Ora che mi ci fai pensare credo che forse in $n$ dimensioni non vale, penserei al piano che ègenerato dai due vettori ma non credo funzioni per il numero di coordinate, do un occhiata.
A naso ti direi presi i due vettori $(u_1,...,u_n)$ e $(v_1,...,v_n)$ proietti i due vettori su un piano, ad esempio sul piano $Ox_1x_2$, e poi usi quello che hai dimostrato sul piano, ovvero sui vettori $(u_1,u_2)$ e $(v_1,v_2)$, da questo trovi che $u_1=v_1$ e $u_2=v_2$. Lo applichi a tutti i $v_i$ e $u_i$ ed hai fatto
"andreadel1988":
A naso ti direi presi i due vettori $(u_1,...,u_n)$ e $(v_1,...,v_n)$ proietti i due vettori su un piano, ad esempio sul piano $Ox_1x_2$, e poi usi quello che hai dimostrato sul piano, ovvero sui vettori $(u_1,u_2)$ e $(v_1,v_2)$, da questo trovi che $u_1=v_1$ e $u_2=v_2$. Lo applichi a tutti i $v_i$ e $u_i$ ed hai fatto
Penso di aver capito quello che intendi. Sinceramente non so...
Comunque, nell'immagine seguente c'è l'UNICA parte di teoria dell'esercizio e, riguardando meglio la parte <
Tu che dici?
In effetti se un valore è compreso tra $-1$ e $1$ si puo esprimere come il coseno di un angolo, ma a priori in dimensioni maggiori di $2$ non credo che corrisponda con l'angolo fra i due vettori, per questo esiste la disgualianza di Cuachy-Schwartz, però forse come ti dicevo io nel momento in cui proietti su un piano rimane sempre la disgualianza e quindi puoi usare il fatto che l'angolo sia proprio quello dei due vettori. Comunque se non vuoi starti troppo a scervellare prova a usare un po di algebra lineare e vedere che ti esce e fammi sapere.
"andreadel1988":
In effetti se un valore è compreso tra $-1$ e $1$ si puo esprimere come il coseno di un angolo, ma a priori in dimensioni maggiori di $2$ non credo che corrisponda con l'angolo fra i due vettori, per questo esiste la disgualianza di Cuachy-Schwartz, però forse come ti dicevo io nel momento in cui proietti su un piano rimane sempre la disgualianza e quindi puoi usare il fatto che l'angolo sia proprio quello dei due vettori. Comunque se non vuoi starti troppo a scervellare prova a usare un po di algebra lineare e vedere che ti esce e fammi sapere.
Okay okay, adesso vedo.
Comunque credo (avendo solo quella teoria) che l'esercizio lo abbiamo svolto correttamente, al di là di questi dubbi. Anzi, a parer mio l'esercizio è stato scritto forse un pò male perchè, come appunto diciamo noi, se $n>2$ l'angolo fra due vettori è un concetto più difficile. Perciò, secondo me l'esercizio voleva farti usare quella formula ($cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$) e arrivare a dove siamo arrivati noi.
Detto ciò, grazie ancora di tutto e del supporto!
Di niente 
. Comunque non ho capito in che senso intendi che l'angolo in $n>2$ sia più difficile. Si tratta alla fine dell'angolo che i due vettori formano sul piano che generano, il problema sta nel fatto che i vettori hanno più di due coordinate e quindi effettivamente non so se quell'angolo è quello che soddisfa $ cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||) $ oppure $vartheta$ forse come ti dicevo io nel momento in cui proietti su un piano rimane sempre la disgualianza e quindi puoi usare il fatto che l'angolo sia proprio quello dei due vettori.
. Comunque non ho capito in che senso intendi che l'angolo in $n>2$ sia più difficile. Si tratta alla fine dell'angolo che i due vettori formano sul piano che generano, il problema sta nel fatto che i vettori hanno più di due coordinate e quindi effettivamente non so se quell'angolo è quello che soddisfa $ cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||) $ oppure $vartheta$ forse come ti dicevo io nel momento in cui proietti su un piano rimane sempre la disgualianza e quindi puoi usare il fatto che l'angolo sia proprio quello dei due vettori.
Sisi, ripensandoci bene deve essere così, giusto. L'angolo $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano, e quindi qui la formula vale (stando in un piano). 
"ErMaestro":
Sisi, ripensandoci bene deve essere così, giusto. L'angolo $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano, e quindi qui la formula vale (stando in un piano).
Aspetta che $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano non è detto che è lo stesso angolo di $ cos(theta)=(A*B)/(||A||||B||) $ (parlo in dimensione n>2 sempre). Il problema è che nel piano che essi generano non credo che $vartheta=theta$. Se però proietti ad esempio su $Ox_1x_2$ siccome le altre componenti rimangono fisse allora dovrebbe valere la formula in cui $theta$ (ovvero l'angolo nella formula applicata ai due vettori proiettati nel piano $Ox_1x_2$) è proprio l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano $Ox_1x_2$. Ad esempio in $RR^3$ se prendi i vettori $((1),(2),(3))$ e $((7),(2),(3))$ l'angolo tra i due vettori in $RR^3$ si trova nel piano $span{((1),(2),(3)),((7),(2),(3))}$, mentre se tu proietti i due vettori sul piano $Oxy$ ottieni $((1),(2),(0))$ e $((7),(2),(0))$ e la formula dovrebbe valere perchè la coordinata $z$ si tiene costante. In generale ti basta proiettare su un piano in cui le $n-2$ coordinate rimangano fisse.
"andreadel1988":
[quote="ErMaestro"]Sisi, ripensandoci bene deve essere così, giusto. L'angolo $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano, e quindi qui la formula vale (stando in un piano).
Aspetta che $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano non è detto che è lo stesso angolo di $ cos(theta)=(A*B)/(||A||||B||) $ (parlo in dimensione n>2 sempre). Il problema è che nel piano che essi generano non credo che $vartheta=theta$. Se però proietti ad esempio su $Ox_1x_2$ siccome le altre componenti rimangono fisse allora dovrebbe valere la formula in cui $theta$ (ovvero l'angolo nella formula applicata ai due vettori proiettati nel piano $Ox_1x_2$) è proprio l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano $Ox_1x_2$. Ad esempio in $RR^3$ se prendi i vettori $((1),(2),(3))$ e $((7),(2),(3))$ l'angolo tra i due vettori in $RR^3$ si trova nel piano $span{((1),(2),(3)),((7),(2),(3))}$, mentre se tu proietti i due vettori sul piano $Oxy$ ottieni $((1),(2),(0))$ e $((7),(2),(0))$ e la formula dovrebbe valere perchè la coordinata $z$ si tiene costante. In generale ti basta proiettare su un piano in cui le $n-2$ coordinate rimangano fisse.[/quote]
Capito, capito..
Grazie
"ErMaestro":
Un ultima cosa:
quindi la formula $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$ è valida sempre? Nel piano, quindi in due dimensioni, so che è così.. ma anche (come dice l'esercizio) se mi trovo in un $n$-spazio qualsiasi?
Ok, ho cercato a fondo su internet e ho trovato che vale in ogni dimensione, riporto l'esempio in dimensione $3$: https://www.matematicamente.it/forum/an ... t5147.html .Ok, credo di aver capito anche il perchè se vuoi saperlo.
Che fai? Mi lasci sulle spine?? Certo che voglio saperlo!
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