Dimostrazione del vettore fisso associato ad un parallelogramma

[liberatorimatteo]

Buongiorno a tutti,
Sto cercando di dimostrare tale proposizione:
Relazione fondamentale tra quadrilateri e vettori Ad ogni quadrilatero si può associare un vettore fisso, dipendente solo dai quattro vertici del quadrilatero attraverso tale procedura: costruito un quadrilatero qualsiasi $ABCD$ sia $P$ un punto qualsiasi del piano. Definiamo il punto $Q$ il simmetrico di $P$ rispetto al vertice $A$. Evidentemente $PA = AQ$. Allo stesso modo definiamo $R$ il simmetrico di $Q$ rispetto a $B$. Analogamente si ottengono i punti $S$ e $T$. Il vettore fisso associato al quadrilatero è il vettore $PT$.

Il vettore $PT$ è un vettore fisso poiché al variare di $P$ (punto da cui dipendono $Q,R,S,T$) nello spazio mantiene inalterati modulo, direzione e verso. Ma attenzione tale vettore varia al variare nello spazio di uno qualsiasi dei vertici del quadrilatero

Dovrei considerare un punto $P$ e un punto $P'$ e dimostrare che $PT$ e $P'T'$ sono in realtà lo stesso vettore libero ma non non riesco a trovare nessun modo per farlo... avete qualche idea/consiglio?
Vi allego un'immagine che ho fatto con GeoGebra che magari chiarisce un po le idee, a me aiutano molto
http://i.imgur.com/sQskU4Y.png

Vi ringrazio anticipatamente!

[liberatorimatteo]

Stavo riflettendo e ho provato questa cosa... Pero non so se è utile
Essendo $PAQ'R'S'DT$ Una poligonale chiusa si ha
$ PT=PA+AQ'+Q'R'+R'S'+S'D+DT $
Ma anche
$ P'T'=P'A+AQ'+Q'R'+R'S'+S'D+DT'$
Ma allora sottraendo membro a membro
$ PT-P'T'=PA+AP'+DT+T'D $
$PT+T'P'+P'P+TT'=0$
$PT'+T'P=0$
$0=0 $
Ma ora? Non serve a nulla tutto ciò vero? Oppure va bene come dimostrazione?

[orsoulx]

Potresti provare che è $ PR=2 \cdot AB $ e $ RT=2 \cdot CD $, quindi $ PT=PR+RT= 2(AB+CD) $, indipendente dalla posizione di $ P $.
Ciao