Dimostrazione con matrici
il problema è il seguente:
sia R un vettore Nx1; 1 un vettore Nx1 con tutti elementi unitari; S^(-1) una matrice inversa NxN dove S e SIMMETRICA e DEFINITA POSITIVA. Poniamo A=R'S(-1)R; B=R'S(-1)1; C=1'S(-1)1; (A,B,C sono dunque scalari!) vorrei sapere PERCHE' LA DISUGUALIANZA: (AC-B^2)>0 è vera?. Segnalo che A,C>0 perchè frutto di forme quadratiche. Per verificarlo viene consigliato di considerare che (BR-A1)'S(BR-A1)>0 che è vero perchè è una forma quadratica ma non trovo il nesso perchè le due disugualianze non sono equivalenti ed in sostanza non riesco a provare che (AC-B^2)>0 che però è vera. Qualcuno riesce a dimostrarlo in modo chiaro ed esaustivo? grazie.
sia R un vettore Nx1; 1 un vettore Nx1 con tutti elementi unitari; S^(-1) una matrice inversa NxN dove S e SIMMETRICA e DEFINITA POSITIVA. Poniamo A=R'S(-1)R; B=R'S(-1)1; C=1'S(-1)1; (A,B,C sono dunque scalari!) vorrei sapere PERCHE' LA DISUGUALIANZA: (AC-B^2)>0 è vera?. Segnalo che A,C>0 perchè frutto di forme quadratiche. Per verificarlo viene consigliato di considerare che (BR-A1)'S(BR-A1)>0 che è vero perchè è una forma quadratica ma non trovo il nesso perchè le due disugualianze non sono equivalenti ed in sostanza non riesco a provare che (AC-B^2)>0 che però è vera. Qualcuno riesce a dimostrarlo in modo chiaro ed esaustivo? grazie.
Risposte
Ciao markowitz, benvenuto nel forum e buona permanenza!
Innanzitutto ti chiedo di modificare il tuo post usando le formule, altrimenti si fa molta fatica a leggere (click su formule, usa l'ASCIIMathML che è molto semplice per iniziare).
Visto che è il tuo primo messaggio, sarò buono e ti dò una mano. Ecco la mia dimostrazione:
Indico con [tex]v^t[/tex], il trasposto di [tex]v[/tex].
Un esercizio per te è dimostrare che, $S^{-1}$ è una matrice definita positiva e simmetrica (se ci sono problemi, chiedi pure).
Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, applicata al prodotto scalare definito da $S^{-1}$, si ha che per ogni $x,y\inRR^n$ (vettori colonna $n$-dimensionali)
(1) [tex]|x^tS^{-1}y|\leq\sqrt{x^tS^{-1}x}\sqrt{y^tS^{-1}y}[/tex].
Elevando al quadrato, si ottiene
(2) [tex](x^tS^{-1}y)^2\leq(x^tS^{-1}x)(y^tS^{-1}y)[/tex].
Applicando la (2) a [tex]x=R[/tex] e [tex]y=1[/tex], segue che
(3) [tex](R^tS^{-1}1)^2\leq(R^tS^{-1}R)(1^tS^{-1}1)[/tex].
Sostituendo nella (3) i corrispondenti valori, si ottiene
(4) [tex]B^2\leq AC[/tex]
che è quasi quello che volevi provare.
Il "quasi" dipende dal [tex]\leq[/tex] mentre tu volevi il [tex]<[/tex]. Ma su questo non ti posso aiutare perchè in realtà vale il [tex]\leq[/tex] (per esempio per [tex]R=1[/tex] vale l'uguaglianza).
In realtà, si dimostra, sempre dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, che vale il [tex]<[/tex] stretto se [tex]R[/tex] e [tex]1[/tex] non sono proporzionali.
Spero di esserti stato utile. Se ti manca qualche tassello, fammi sapere.
Innanzitutto ti chiedo di modificare il tuo post usando le formule, altrimenti si fa molta fatica a leggere (click su formule, usa l'ASCIIMathML che è molto semplice per iniziare).
Visto che è il tuo primo messaggio, sarò buono e ti dò una mano. Ecco la mia dimostrazione:
Indico con [tex]v^t[/tex], il trasposto di [tex]v[/tex].
Un esercizio per te è dimostrare che, $S^{-1}$ è una matrice definita positiva e simmetrica (se ci sono problemi, chiedi pure).
Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, applicata al prodotto scalare definito da $S^{-1}$, si ha che per ogni $x,y\inRR^n$ (vettori colonna $n$-dimensionali)
(1) [tex]|x^tS^{-1}y|\leq\sqrt{x^tS^{-1}x}\sqrt{y^tS^{-1}y}[/tex].
Elevando al quadrato, si ottiene
(2) [tex](x^tS^{-1}y)^2\leq(x^tS^{-1}x)(y^tS^{-1}y)[/tex].
Applicando la (2) a [tex]x=R[/tex] e [tex]y=1[/tex], segue che
(3) [tex](R^tS^{-1}1)^2\leq(R^tS^{-1}R)(1^tS^{-1}1)[/tex].
Sostituendo nella (3) i corrispondenti valori, si ottiene
(4) [tex]B^2\leq AC[/tex]
che è quasi quello che volevi provare.
Il "quasi" dipende dal [tex]\leq[/tex] mentre tu volevi il [tex]<[/tex]. Ma su questo non ti posso aiutare perchè in realtà vale il [tex]\leq[/tex] (per esempio per [tex]R=1[/tex] vale l'uguaglianza).
In realtà, si dimostra, sempre dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, che vale il [tex]<[/tex] stretto se [tex]R[/tex] e [tex]1[/tex] non sono proporzionali.
Spero di esserti stato utile. Se ti manca qualche tassello, fammi sapere.
TI RINGRAZIO MOLTO PER IL TUO AIUTO.
Intuivo che fosse necessario riferirsi a qualche teorema o comunque proprietà a me non familiare.
Per ringraziarti ti dico che dimostrare la disugualianza che ho scritto equivale a dimostrare che la parabola che descrive la frontiera a varianza minima (vedi modello media-varianza su Wikipidia) non si ribalta mai, ovvero i portafogli possibili possiedono sempre varianza maggiore (al più uguale) a zero, il che deve essere vero. Questo perchè il segno di AC-B^2 si dimostra essere il segno del coefficente associato al termine di secondo grado della parabola stessa.
Il caso in cui R=1 (o comunque relazione lineare tra i due vettori) rende non definita la parabola, tale evento è possibile, ma la prob. che si verifichi con dati reali si può considerare nulla.
Intuivo che fosse necessario riferirsi a qualche teorema o comunque proprietà a me non familiare.
Per ringraziarti ti dico che dimostrare la disugualianza che ho scritto equivale a dimostrare che la parabola che descrive la frontiera a varianza minima (vedi modello media-varianza su Wikipidia) non si ribalta mai, ovvero i portafogli possibili possiedono sempre varianza maggiore (al più uguale) a zero, il che deve essere vero. Questo perchè il segno di AC-B^2 si dimostra essere il segno del coefficente associato al termine di secondo grado della parabola stessa.
Il caso in cui R=1 (o comunque relazione lineare tra i due vettori) rende non definita la parabola, tale evento è possibile, ma la prob. che si verifichi con dati reali si può considerare nulla.
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