Dimostrazione baricentro piramide
Salve, ragazzi. Dovrei dimostrare che il baricentro di una piramide regolare con base quadrangolare è a un quarto dell'altezza (nei dati mi vengono fornite le misure esatte dell'altezza e della base).
Ma come faccio a dimostrarlo?
Si potrebbe utilizzare il Teorema di Guldino ( Volume = Area x [tex]2\pi\bar{y}[/tex], dove [tex]\bar{y}[/tex] è l'ordinata del baricentro) o in questo caso non è adatto?
Ma come faccio a dimostrarlo?
Si potrebbe utilizzare il Teorema di Guldino ( Volume = Area x [tex]2\pi\bar{y}[/tex], dove [tex]\bar{y}[/tex] è l'ordinata del baricentro) o in questo caso non è adatto?
Risposte
Ehm, e se io non avessi ancora studiato gli integrali tripli? Non ci sarebbe un modo con ''mezzi'' più semplici?
Ho trovato questa richiesta in un test di ammissione per una Scuola di Eccellenza, non ho ancora iniziato l'università.
Ho trovato questa richiesta in un test di ammissione per una Scuola di Eccellenza, non ho ancora iniziato l'università.
Ma usare il fatto che le coordinate del baricentro di un solido ad $n$ vertici sono la media aritmetica delle coordinate dei vertici no eh? Troppo facile? 
Effettivamente a farlo il calcolo non mi torna neppure a me... mmmmmmm..... sento puzza di stronzata....
Propongo una soluzione che non usa gli integrali:
Consideriamo un sistema di coordinate tale che il vertice della piramide (di altezza $h$ e volume $V$) sia l'origine e l'asse di simmetria sia l'asse $x$: per motivi di simmetria il baricentro appartiene all'asse $x$, cioè è un certo $(d,0,0)$, e vogliamo dimostrare che $d=3/4 h$. Fissato $alpha in (0,1)$, consideriamo la piramide ottenuta tagliando la piramide originale col piano $x=alpha h$: il suo baricentro è $(alpha d,0,0)$ (e il suo volume è $alpha^3 V$), mentre il baricentro dell'altro pezzo è $(x_{alpha},0,0)$, e possiamo esprimere il baricentro della piramide originale come media pesata dei baricentri dei due pezzi:
$d=((alpha^3 V)(alpha d)+[(1-alpha^3)V]x_{alpha})/V=alpha^4 d+(1-alpha^3)x_{alpha} \Rightarrow x_{alpha}=(1-alpha^4)/(1-alpha^3) d$
D'altra parte è chiaro che $alpha h <= x_{alpha} <= h$: sostituendo si trova $alpha (1-alpha^3)/(1-alpha^4) <= d/h <= (1-alpha^3)/(1-alpha^4)$, e prendendo i limiti per $alpha \rightarrow 1$ viene $d/h=3/4$.
Consideriamo un sistema di coordinate tale che il vertice della piramide (di altezza $h$ e volume $V$) sia l'origine e l'asse di simmetria sia l'asse $x$: per motivi di simmetria il baricentro appartiene all'asse $x$, cioè è un certo $(d,0,0)$, e vogliamo dimostrare che $d=3/4 h$. Fissato $alpha in (0,1)$, consideriamo la piramide ottenuta tagliando la piramide originale col piano $x=alpha h$: il suo baricentro è $(alpha d,0,0)$ (e il suo volume è $alpha^3 V$), mentre il baricentro dell'altro pezzo è $(x_{alpha},0,0)$, e possiamo esprimere il baricentro della piramide originale come media pesata dei baricentri dei due pezzi:
$d=((alpha^3 V)(alpha d)+[(1-alpha^3)V]x_{alpha})/V=alpha^4 d+(1-alpha^3)x_{alpha} \Rightarrow x_{alpha}=(1-alpha^4)/(1-alpha^3) d$
D'altra parte è chiaro che $alpha h <= x_{alpha} <= h$: sostituendo si trova $alpha (1-alpha^3)/(1-alpha^4) <= d/h <= (1-alpha^3)/(1-alpha^4)$, e prendendo i limiti per $alpha \rightarrow 1$ viene $d/h=3/4$.
Ho utilizzato anch'io il metodo delle coordinate dei quattro vertici del tetraedro.
Come asse x si può prendere la retta dello spigolo AB del solido, ( assumendo che A sia l'origine delle coordinate spaziali
e B sull'asse x positivo) , il vertice C nel piano xy ed il vertice D ad una distanza h dal piano xy.
Se l è lo spigolo del tetraedro, con un pò di sana geometria () si giunge a calcolare le coordinate dei 4 vertici
del tetraedro e l'altezza $h$ del solido dal vertice D:
$A(0,0,0), B(0,l,0),C(l/2\sqrt3,l/2,0), D(l/6\sqrt3,l/2,l/3\sqrt6), h=l/3\sqrt6 $
Poichè le coordinate del baricentro possono essere calcolate come media aritmetica di quelle corrispondenti
dei 4 vertici del tetraedro, la cordinata z del baricentro G richiesto sarà:
$z=(0+0+0+l/3\sqrt6)/4=1/4*(l/3\sqrt6)$
che è esattamente $1/4$ dell'altezza del solido calcolata dal vertice D sul piano della faccia ABC.
Come asse x si può prendere la retta dello spigolo AB del solido, ( assumendo che A sia l'origine delle coordinate spaziali
e B sull'asse x positivo) , il vertice C nel piano xy ed il vertice D ad una distanza h dal piano xy.
Se l è lo spigolo del tetraedro, con un pò di sana geometria (
) si giunge a calcolare le coordinate dei 4 vertici del tetraedro e l'altezza $h$ del solido dal vertice D:
$A(0,0,0), B(0,l,0),C(l/2\sqrt3,l/2,0), D(l/6\sqrt3,l/2,l/3\sqrt6), h=l/3\sqrt6 $
Poichè le coordinate del baricentro possono essere calcolate come media aritmetica di quelle corrispondenti
dei 4 vertici del tetraedro, la cordinata z del baricentro G richiesto sarà:
$z=(0+0+0+l/3\sqrt6)/4=1/4*(l/3\sqrt6)$
che è esattamente $1/4$ dell'altezza del solido calcolata dal vertice D sul piano della faccia ABC.
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