Dimostrazione autospazi

[poppilop]

Salve a tutti, mi son trovato davanti ad una dimostrazione che mi ha dato filo da torcere. Dovrei dimostrare che autospazi associati ad autovalori distinti sono tra loro in somma diretta. Ho pensato di ridurre il caso a due autovalori - che, in realtà, è quello che mi interesserebbe - $λ, μ$.

Dati tali autovalori $λ, μ$ devo dimostrare che $E(λ)\capE(μ) = O$ dove per $O$ intendo il vettore nullo.
Se i due autospazi sono in somma diretta, ciò vuol dire che, preso un elemento $x∈E(λ)+E(μ)$, pertanto la decomposizione è unica. Supponiamo per assurdo che la decomposizione di $x$ non sia unica, quindi

$x = x(λ) + x(μ) = y(λ) + y(μ)$
$(x(λ) - y(λ)) + (x(μ) - y(μ)) = O$
Questo è vero se e solo se $x(λ) = y(λ)$ e $x(μ) = y(μ)$, cioè la decomposizione di $x$ è unica.
Questo permette di dire che gli autospazi di partenza sono in somma diretta.

Che ne pensate? Esisterebbe un altro modo?

Grazie in anticipo!

[poppilop]

Ho provato anche a dimostrarlo in questa maniera:

Siano $λ,μ$ due autovalori distinti associati all'operatore $T: R^n -> R^n$. Sia $E(λ)$ l'autospazio associato a quell'autovalore e $E(μ)$ l'autospazio associato all'altro autovalore.
Ora, supponendo $x$ non nullo, $x∈E(λ)\capE(μ)$ se e solo se $E(x) = λx = μx$, cioè $λ = μ$, ma questo è assurdo per quanto detto prima, perciò l'intersezione restituisce $O$

Che ve ne pare?