Dimostrazione applicazioni lineari

[salvatoresambito]

Salve a tutti , non riesco a capire un passaggio algebrico di questa dimostrazione :

Hp:Siano $V_n$ e $V'_m$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $ K $
Siano $e=(e_1,e_2,...,e_n)$ $f=(f_1,f_3,...,f_m)$ due basi ordinate dei rispettivi spazi vettoriali.Proviamo che la matrice $A$ , la matrice associata all'applicazione lineare $ varphi: V_n ->V'_m $, descrive completamente $ varphi $ rispetto alle basi $e$ ed $f$ :

Determinare $ varphi $ significa determinale le componenti $(v^1,v^2,...)$ del vettore $v$= $ varphi(u) $
Dunque : $ u=sum_(j = 1\) ^n u^je_j $
Considero $ varphi(u)= varphi(sum_(j =1 ) ^n u^je_j)=sum_(j =1 ) ^n u^jvarphi(e_j)=sum_(j =1 ) ^n u^j(sum_(i =1 ) ^m (a^i)_jf_i)=sum_(i =1 ) ^m (sum_(j =1 ) ^n(a^i)_ju^j)f_i=sum_(i =1 ) ^mv^i f_i $
ovvero: $ v^i= sum_(j =1 ) ^n a_j^iu_j AA i=1,2,...,m $
Pertanto $v=Au$

Non capisco questo passaggio $sum_(j =1 ) ^n u^j(sum_(i =1 ) ^m (a^i)_jf_i)=sum_(i =1 ) ^m (sum_(j =1 ) ^n(a^i)_ju^j)f_i=sum_(i =1 ) ^mv^i f_i $
Cosa succede dentro le sommatorie ?Non capisco come entrano ed escono i termini della sommatoria, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie

[Indrjo Dedej]

Niente di particolare. La scrittura con la sommatoria è solo molto sintetica. Prova ad espanderla un po'. Cioè al posto di scrivere una cosa del tipo \(\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i\) scrivi \(x_1+x_2+\dots+x_n\).