Dimostrazione

[zuffff]

mi serve urgentemente trovare la seguente dimostrazione:

dati tre vettori A B C, verificare in coordinate cartesiane che:
Ax(BxC)=(A*C)B-(A*B)C

Poi ce ne sarebbero altre

[elgiovo]

In realtà la tua richiesta non è molto chiara... Ammesso che con X indichi il prodotto vettoriale e con * quello scalare, che significa (A*B)B?
Che prodotto c'è dopo la parentesi??

[ficus2002]

"elgiovo":In realtà la tua richiesta non è molto chiara... Ammesso che con X indichi il prodotto vettoriale e con * quello scalare, che significa (A*B)B?
Che prodotto c'è dopo la parentesi??

è il prodotto di un vettore per uno scalare.

[elgiovo]

Ok... ora ho capito. Beh, ecco la dimostrazione: siano (senza perdita di generalità) $A$,$B$ e $C$ vettori nello spazio $RR^3$ di coordinate $((alpha),(beta),(gamma))$, $((alpha'),(beta'),(gamma'))$ e $((alpha''),(beta''),(gamma''))$ e $i$, $j$, $k$, i versori degli assi. Calcoliamo $B xxC$:
$BxxC = det ((i,j,k),(alpha',beta',gamma'),(alpha'',beta'',gamma''))=(beta'gamma''-gamma'beta'')i-(alpha'gamma''-gamma'alpha'')j+(alpha'beta''-beta'alpha'')k=((beta'gamma''-gamma'beta''),(alpha'gamma''-gamma'alpha''),(alpha'beta''-beta'alpha''))$.
Calcoliamo $A xx(BxxC)$:
$A xx(BxxC)=det ((i,j,k),(alpha,beta,gamma),(beta'gamma''-gamma'beta'', alpha''gamma'-alpha'gamma'',alpha'beta''-beta'alpha''))=(alpha'betabeta''+alpha'gammagamma''-alpha''betabeta'-alpha''gammagamma')i+(alphaalpha''beta'+beta'gammagamma''-beta''alphaalpha'-beta''gammagamma')j+(gamma'alphaalpha''+gamma'betabeta''-gamma''alphaalpha'-gamma''betabeta')k=((alpha'betabeta''+alpha'gammagamma''-alpha''betabeta'-alpha''gammagamma'),(alphaalpha''beta'+beta'gammagamma''-beta''alphaalpha'-beta''gammagamma'),(gamma'alphaalpha''+gamma'betabeta''-gamma''alphaalpha'-gamma''betabeta'))$.
Ma del resto
$(A*C)B-(A*B)C=(alphaalpha''+betabeta''+gammagamma'')((alpha'),(beta'),(gamma'))-(alphaalpha'+betabeta'+gammagamma')((alpha''),(beta''),(gamma''))=((alpha'betabeta''+alpha'gammagamma''-alpha''betabeta'-alpha''gammagamma'),(alphaalpha''beta'+beta'gammagamma''-beta''alphaalpha'-beta''gammagamma'),(gamma'alphaalpha''+gamma'betabeta''-gamma''alphaalpha'-gamma''betabeta'))=Axx(BxxC)$, e ciò prova l'asserto.

[zuffff]

grazie