Dimostrare se una applicazione lineare è un prodotto scalare

daniele912
Ciao a tutti!
Ho iniziato a studiare da poco gli spazi reali con prodotto scalare e quasi subito ho incontrato questo esercizio di cui vi riporto il testo:
Sia $ * : RR^3 -> RR^3$ definita da:
$a*b = 3a_1 b_1 + 3a_2 b_2 + a_3 b_3 - a_1 b_2 + a_2 b_1 = a^T ( ( 3 , -1 , 0 ),( 1 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) b$.
Dimostrare che non si tratta di un prodotto scalare in $RR^3$.

Se non mi sbaglio, un'applicazione lineare dovrebbe essere un prodotto scalare se è bilineare, simmetrica, semidefinita positiva e non degenere. Dunque, per l'esercizio in questione, basta dimostrare che non rispetta una di queste proprietà. Il problema è che non so affatto procedere con la dimostrazione. Non riesco a dimostrare se rispetta o meno quelle proprietà. Vi sono altri esercizi simili a questo dove invece si deve dimostrare che sono prodotti scalari. Per favore, qualcuno può darmi una mano? Sono assolutamente in alto mare. Grazie a tutti coloro che risponderanno.

Risposte
vict85
Quando una forma bilineare è simmetrica?

daniele912
Se la forma bilineare è $g$ dovrebbe essere quando $g(v,w) = g (w,v) $ ma avrei bisogno di un esempio pratico per capire l'asserto. E' la prima volta che tratto questo argomento e così a primo acchito sto trovando parecchia difficoltà.

daniele912
Scusa ma non ho capito perchè dovrei provare proprio con quei valori di a e b...comunque, penso che una forma bilineare simmetrica dovrebbe avere una matrice associata simmetrica.

daniele912
Affinché l'applicazione lineare sia un prodotto scalare è necessario che questa rispetti le condizioni di linearità, che sia simmetrica, che sia definito positivo e non degenere. Si verifica la simmetria vedendo se la matrice associata è simmetrica. Inoltre, è definito positivo se tutti gli autovalori sono maggiori di zero ed è non degenere appunto se il kernel dell'applicazione lineare è uguale a 0.
E' giusto o sbagliato?

daniele912
Grazie della risposta Sergio!
Comunque, vorrei approfittare della tua disponibilità per farti un'altra domanda riguardo ad un altro esercizio.
La traccia dell'esercizio è la seguente:

Consideriamo l'applicazione $<*, *> : RR^3 x RR^3 -> RR$ data da:
$ = 2v_1w_1 + v_1w_2 + v_2w_1 + v_2w_2 + v_3w_3$.
Nella soluzione proposta dal libro c'è scritto che questo prodotto scalare è dato da una formula del tipo:
$ = w^T S v$,
dove $S$ è la matrice simmetrica:

$ S = ( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $

Inoltre, verifica che è definito positivo mediante la relazione:
$ = v_1 ^ 2 + (v_1 + v_2)^2 + v_3 ^ 2 >= 0$.

Io non ho capito come mai il prodotto scalare è dato dalla formula $ = w^T S v$, e inoltre come dimostra che è definito positivo. So che, affinché sia definito positivo è necessario che $v * v >=0$ e che $v*v = 0$ solo se $v = 0$, ma non riesco in pratica a ricavarmi questa espressione riportata dal libro. Forse scritta in forma matriciale mi tornerebbe meglio perché ho difficoltà a comprendere la sintassi utilizzata e le varie notazioni. Abbiate pazienza con me perché sono ancora alle prime armi. Grazie ancora!

daniele912
Praticamente mi chiedevo: chi è il vettore $v$ in forma matriciale? Perché conoscendo $v$ si tratta solo di fare il prodotto $v*v e di porlo maggiore o uguale a zero...

daniele912
Il prodotto scalare tra due vettori $a$ e $b$ si può scrivere come:
$a*b= a^T b$.
Nel caso di $$ si ha dunque il prodotto di una matrice riga (1x3) per una matrice colonna (3x1).
Dunque, se $v = (v_1, v_2, v_3)$ allora il prodotto $$ è uguale a:

$ ( ( v_1 , v_2 , v_3 ) ) ( ( v_1 ),( v_2),( v_3 ) ) = v_1 ^2 + v_2 ^2 + v_3 ^2 $

e non mi torna con l'espressione data dal libro :lol: Grazie mille per l'aiuto ancora una volta...

daniele912
Quindi nel mio caso il prodotto $$ nel mio caso è dato da $ v^T S v$? Che confusione...

daniele912
Qualcuno può aiutarmi? Grazie...

daniele912
Scusa se replico ancora e molto probabilmente sembrerò uno stupido ma ho ancora bisogno di qualche chiarimento.
Il prodotto scalare in questione rispetta la formula:

$ = w^T S v$

ma non mi sembra equivalga alla scrittura:

$ (( w_1 , w_2 , w_3) ) ( (2 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ((v_1), (v_2), (v_3)) $

in quanto risolvendo esce:

$ 2w_1 v_1 + v_2 w_2 + w_1 v_1 + w_2 v_2 + w_3 v_3$

che è diverso dall'applicazione $$ della traccia dell'esercizio. Cosa c'è che non va? Grazie ancora per le risposte...

daniele912
Ma perché il prodotto:

$(v_1, v_2, v_3) ((2, 1, 0), (1,1,0), (0,0,1)) = (2v_1 + v_2, v_1 + v_2, v_3)$

Non si esegue il normale prodotto riga per colonna?
Inoltre, la matrice riga non dovrebbe essere $w^T$?

daniele912
Non riesco a capire come mai il prodotto che ho eseguito io non corrisponda all'applicazione definita nella traccia. Inoltre, da dove escono i termini somma? Ovvero $2v_1 + v_2$ e $v_1 + v_2$?

daniele912
Il prodotto è questo:

$((v_1, v_2, v_3)) ((2, 1, 0), (1,1,0),(0,0,1)) ((w_1),(w_2),(w_3))$.

Ho moltiplicato la prima matrice per la seconda e ottengo dunque:
$ ((2v_1, v_2, 0), (v_1, v_2, 0), (0,0,v_3)) ((w_1),(w_2),(w_3))$

Eseguendo il prodotto tra le due matrici rimaste si ha:

$2v_1 w_1 + v_2 w_2 + 0 + v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3$

vict85
"daniele91":
Ma perché il prodotto:

$(v_1, v_2, v_3) ((2, 1, 0), (1,1,0), (0,0,1)) = (2v_1 + v_2, v_1 + v_2, v_3)$

Non si esegue il normale prodotto riga per colonna?
Inoltre, la matrice riga non dovrebbe essere $w^T$?


Siccome i vettori sono in genere visti per colonna allora tu hai che se

\(\displaystyle w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \) allora \(\displaystyle w^T = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix} \)

riguardo al tuo prodotto la prima “matrice” ha una sola riga, e la seconda ha \(\displaystyle 3 \) colonne. Il risultato è quindi una matrice riga di \(\displaystyle 1\times 3 \).

Ora sia \(\displaystyle r = \begin{pmatrix} r_1 & r_2 & r_3 \end{pmatrix} \) il risultato allora:

\(\displaystyle r_1 = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 2w_1 + w_2 + 0w_3 = 2w_1 + w_2 \)

\(\displaystyle r_2 = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = w_1 + w_2 + 0w_3 = w_1 + w_2 \)

\(\displaystyle r_3 = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0w_1 + 0w_2 + w_3 = w_3 \)

Cosa non ti torna di questi calcoli? Hai forse trasposto la matrice colonna? in quel caso non avresti neanche potuto fare la moltiplicazione matriciale.

daniele912
Certo, ho sbagliato ingenuamente il prodotto. Il prodotto di una matrice 1 x 3 per una matrice 3 x 3 è una matrice 1x3. Ho ancora poca dimestichezza con l'algebra e commetto errori a dir poco grossolani/vergognosi. Scusate...
Grazie della risposta!

daniele912
Anche il prodotto $$ rispetta una formula del tipo $ = v^T S v$ ?

vict85
"daniele91":
Anche il prodotto $$ rispetta una formula del tipo $ = v^T S v$ ?


I vettori nella formula erano arbitrari quindi possono anche essere lo stesso vettore. La S in questione è la stessa identica dell'altro caso.

daniele912
Grazie della risposta! Ora mi è più chiaro.
Stavo affrontando un altro esercizio simile al primo in cui da un'applicazione:
$ = v_1 w_1 + v_1 w_2 + v_2 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3$.
Anche in questo caso rispetta la formula:
$ = w^T S v$

dove $S$ è la matrice rappresentativa:

$ S= ((1,1,0),(1,1,0),(0,0,1))$

Nella risoluzione dell'esercizio data dal libro c'è scritto che il prodotto scalare non è definito positivo in quanto si ha:
$ = (v_1 + v_2)^2 + v_3 ^2 >=0$ per cui si ha che $v =0 $ solo se $ v_1 + v_2 = v_3 = 0$. E fin qui ci sono.
In seguito, continua dicendo che ciò non implica che $v= O$ in quanto esistono dei vettori non nulli tali che $ =0$, per esempio il vettore:
$v_0 = ((1), (-1), (0))$.

Io non ho capito come è riuscito a comprendere l'esistenza del vettore $v_0$ non nullo. Potete gentilmente spiegarmelo? Grazie ancora per il prezioso aiuto...

daniele912
Ma se volessi trovare un altro vettore $v_0$ diverso dal vettore nullo che annulli il prodotto scalare come dovrei procedere? Grazie per la risposta...

daniele912
Posto la traccia di un altro esercizio perché vorrei capire bene come si procede in esercizi del genere.
La traccia è la seguente:

L'applicazione $<*,*>: RR^3 x RR^3 -> RR$ data da:

$ = v_1 w_2 + v_2 w_1 + v_3 w_3 = w^T S v$

dove $S$ è la matrice $S= ((0,1,0),(1,0,0),(0,0,1))$ è un prodotto scalare ma non è definito positivo (o negativo). Infatti,

$ = 2v_1 v_2 + v_3 ^2$

e per esempio abbiamo:

$< ((1),(1),(0)), ((1),(1),(0))> = 2$ $<((1),(0),(0)),((1),(0),(0))> = 0 $ $<((1),(-1),(0)),((1),(-1),(0))> = -2$

Nonostante ciò, questo prodotto scalare è non degenere: infatti, $ = 0$ per tutti i $w in RR^3$ se e solo se $v_1 = v_2 = v_3= 0$, cioè se e solo se $v=O$ .


Non ho capito per quale motivo sia non degenere. Un prodotto dovrebbe essere non degenere quando $ v * v = 0 $ se e solo se $v=0$. Ma non ha appena dimostrato con il vettore:

$<((1),(0),(0)),((1),(0),(0))> = 0 $

che c'è un altro vettore non nullo per cui $v*v=0$? E questo non significa che il prodotto è degenere? Inoltre, supponendo che sia non degenere, per quale motivo il prodotto non è definito positivo/negativo?

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