Dimostrare se una applicazione lineare è un prodotto scalare

[daniele912]

Ciao a tutti!
Ho iniziato a studiare da poco gli spazi reali con prodotto scalare e quasi subito ho incontrato questo esercizio di cui vi riporto il testo:
Sia $ * : RR^3 -> RR^3$ definita da:
$a*b = 3a_1 b_1 + 3a_2 b_2 + a_3 b_3 - a_1 b_2 + a_2 b_1 = a^T ( ( 3 , -1 , 0 ),( 1 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) b$.
Dimostrare che non si tratta di un prodotto scalare in $RR^3$.

Se non mi sbaglio, un'applicazione lineare dovrebbe essere un prodotto scalare se è bilineare, simmetrica, semidefinita positiva e non degenere. Dunque, per l'esercizio in questione, basta dimostrare che non rispetta una di queste proprietà. Il problema è che non so affatto procedere con la dimostrazione. Non riesco a dimostrare se rispetta o meno quelle proprietà. Vi sono altri esercizi simili a questo dove invece si deve dimostrare che sono prodotti scalari. Per favore, qualcuno può darmi una mano? Sono assolutamente in alto mare. Grazie a tutti coloro che risponderanno.

[vict85]

Quando una forma bilineare è simmetrica?

[daniele912]

Se la forma bilineare è $g$ dovrebbe essere quando $g(v,w) = g (w,v) $ ma avrei bisogno di un esempio pratico per capire l'asserto. E' la prima volta che tratto questo argomento e così a primo acchito sto trovando parecchia difficoltà.

[daniele912]

Scusa ma non ho capito perchè dovrei provare proprio con quei valori di a e b...comunque, penso che una forma bilineare simmetrica dovrebbe avere una matrice associata simmetrica.

[daniele912]

Affinché l'applicazione lineare sia un prodotto scalare è necessario che questa rispetti le condizioni di linearità, che sia simmetrica, che sia definito positivo e non degenere. Si verifica la simmetria vedendo se la matrice associata è simmetrica. Inoltre, è definito positivo se tutti gli autovalori sono maggiori di zero ed è non degenere appunto se il kernel dell'applicazione lineare è uguale a 0.
E' giusto o sbagliato?

[daniele912]

Grazie della risposta Sergio!
Comunque, vorrei approfittare della tua disponibilità per farti un'altra domanda riguardo ad un altro esercizio.
La traccia dell'esercizio è la seguente:

Consideriamo l'applicazione $<*, *> : RR^3 x RR^3 -> RR$ data da:
$ = 2v_1w_1 + v_1w_2 + v_2w_1 + v_2w_2 + v_3w_3$.
Nella soluzione proposta dal libro c'è scritto che questo prodotto scalare è dato da una formula del tipo:
$ = w^T S v$,
dove $S$ è la matrice simmetrica:

$ S = ( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $

Inoltre, verifica che è definito positivo mediante la relazione:
$ = v_1 ^ 2 + (v_1 + v_2)^2 + v_3 ^ 2 >= 0$.

Io non ho capito come mai il prodotto scalare è dato dalla formula $ = w^T S v$, e inoltre come dimostra che è definito positivo. So che, affinché sia definito positivo è necessario che $v * v >=0$ e che $v*v = 0$ solo se $v = 0$, ma non riesco in pratica a ricavarmi questa espressione riportata dal libro. Forse scritta in forma matriciale mi tornerebbe meglio perché ho difficoltà a comprendere la sintassi utilizzata e le varie notazioni. Abbiate pazienza con me perché sono ancora alle prime armi. Grazie ancora!

[daniele912]

Praticamente mi chiedevo: chi è il vettore $v$ in forma matriciale? Perché conoscendo $v$ si tratta solo di fare il prodotto $v*v e di porlo maggiore o uguale a zero...

[daniele912]

Il prodotto scalare tra due vettori $a$ e $b$ si può scrivere come:
$a*b= a^T b$.
Nel caso di $$ si ha dunque il prodotto di una matrice riga (1x3) per una matrice colonna (3x1).
Dunque, se $v = (v_1, v_2, v_3)$ allora il prodotto $$ è uguale a:

$ ( ( v_1 , v_2 , v_3 ) ) ( ( v_1 ),( v_2),( v_3 ) ) = v_1 ^2 + v_2 ^2 + v_3 ^2 $

e non mi torna con l'espressione data dal libro Grazie mille per l'aiuto ancora una volta...

[daniele912]

Quindi nel mio caso il prodotto $$ nel mio caso è dato da $ v^T S v$? Che confusione...

[daniele912]

Qualcuno può aiutarmi? Grazie...

[daniele912]

Scusa se replico ancora e molto probabilmente sembrerò uno stupido ma ho ancora bisogno di qualche chiarimento.
Il prodotto scalare in questione rispetta la formula:

$ = w^T S v$

ma non mi sembra equivalga alla scrittura:

$ (( w_1 , w_2 , w_3) ) ( (2 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ((v_1), (v_2), (v_3)) $

in quanto risolvendo esce:

$ 2w_1 v_1 + v_2 w_2 + w_1 v_1 + w_2 v_2 + w_3 v_3$

che è diverso dall'applicazione $$ della traccia dell'esercizio. Cosa c'è che non va? Grazie ancora per le risposte...

[daniele912]

Ma perché il prodotto:

$(v_1, v_2, v_3) ((2, 1, 0), (1,1,0), (0,0,1)) = (2v_1 + v_2, v_1 + v_2, v_3)$

Non si esegue il normale prodotto riga per colonna?
Inoltre, la matrice riga non dovrebbe essere $w^T$?

[daniele912]

Non riesco a capire come mai il prodotto che ho eseguito io non corrisponda all'applicazione definita nella traccia. Inoltre, da dove escono i termini somma? Ovvero $2v_1 + v_2$ e $v_1 + v_2$?

[daniele912]

Il prodotto è questo:

$((v_1, v_2, v_3)) ((2, 1, 0), (1,1,0),(0,0,1)) ((w_1),(w_2),(w_3))$.

Ho moltiplicato la prima matrice per la seconda e ottengo dunque:
$ ((2v_1, v_2, 0), (v_1, v_2, 0), (0,0,v_3)) ((w_1),(w_2),(w_3))$

Eseguendo il prodotto tra le due matrici rimaste si ha:

$2v_1 w_1 + v_2 w_2 + 0 + v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3$

[vict85]

"daniele91":Ma perché il prodotto:

$(v_1, v_2, v_3) ((2, 1, 0), (1,1,0), (0,0,1)) = (2v_1 + v_2, v_1 + v_2, v_3)$

Non si esegue il normale prodotto riga per colonna?
Inoltre, la matrice riga non dovrebbe essere $w^T$?

Siccome i vettori sono in genere visti per colonna allora tu hai che se

\(\displaystyle w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \) allora \(\displaystyle w^T = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix} \)

riguardo al tuo prodotto la prima “matrice” ha una sola riga, e la seconda ha \(\displaystyle 3 \) colonne. Il risultato è quindi una matrice riga di \(\displaystyle 1\times 3 \).

Ora sia \(\displaystyle r = \begin{pmatrix} r_1 & r_2 & r_3 \end{pmatrix} \) il risultato allora:

\(\displaystyle r_1 = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 2w_1 + w_2 + 0w_3 = 2w_1 + w_2 \)

\(\displaystyle r_2 = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = w_1 + w_2 + 0w_3 = w_1 + w_2 \)

\(\displaystyle r_3 = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0w_1 + 0w_2 + w_3 = w_3 \)

Cosa non ti torna di questi calcoli? Hai forse trasposto la matrice colonna? in quel caso non avresti neanche potuto fare la moltiplicazione matriciale.

[daniele912]

Certo, ho sbagliato ingenuamente il prodotto. Il prodotto di una matrice 1 x 3 per una matrice 3 x 3 è una matrice 1x3. Ho ancora poca dimestichezza con l'algebra e commetto errori a dir poco grossolani/vergognosi. Scusate...
Grazie della risposta!

[daniele912]

Anche il prodotto $$ rispetta una formula del tipo $ = v^T S v$ ?

[vict85]

"daniele91":Anche il prodotto $$ rispetta una formula del tipo $ = v^T S v$ ?

I vettori nella formula erano arbitrari quindi possono anche essere lo stesso vettore. La S in questione è la stessa identica dell'altro caso.

[daniele912]

Grazie della risposta! Ora mi è più chiaro.
Stavo affrontando un altro esercizio simile al primo in cui da un'applicazione:
$ = v_1 w_1 + v_1 w_2 + v_2 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3$.
Anche in questo caso rispetta la formula:
$ = w^T S v$

dove $S$ è la matrice rappresentativa:

$ S= ((1,1,0),(1,1,0),(0,0,1))$

Nella risoluzione dell'esercizio data dal libro c'è scritto che il prodotto scalare non è definito positivo in quanto si ha:
$ = (v_1 + v_2)^2 + v_3 ^2 >=0$ per cui si ha che $v =0 $ solo se $ v_1 + v_2 = v_3 = 0$. E fin qui ci sono.
In seguito, continua dicendo che ciò non implica che $v= O$ in quanto esistono dei vettori non nulli tali che $ =0$, per esempio il vettore:
$v_0 = ((1), (-1), (0))$.

Io non ho capito come è riuscito a comprendere l'esistenza del vettore $v_0$ non nullo. Potete gentilmente spiegarmelo? Grazie ancora per il prezioso aiuto...

[daniele912]

Ma se volessi trovare un altro vettore $v_0$ diverso dal vettore nullo che annulli il prodotto scalare come dovrei procedere? Grazie per la risposta...

[daniele912]

Posto la traccia di un altro esercizio perché vorrei capire bene come si procede in esercizi del genere.
La traccia è la seguente:

L'applicazione $<*,*>: RR^3 x RR^3 -> RR$ data da:

$ = v_1 w_2 + v_2 w_1 + v_3 w_3 = w^T S v$

dove $S$ è la matrice $S= ((0,1,0),(1,0,0),(0,0,1))$ è un prodotto scalare ma non è definito positivo (o negativo). Infatti,

$ = 2v_1 v_2 + v_3 ^2$

e per esempio abbiamo:

$< ((1),(1),(0)), ((1),(1),(0))> = 2$ $<((1),(0),(0)),((1),(0),(0))> = 0 $ $<((1),(-1),(0)),((1),(-1),(0))> = -2$

Nonostante ciò, questo prodotto scalare è non degenere: infatti, $ = 0$ per tutti i $w in RR^3$ se e solo se $v_1 = v_2 = v_3= 0$, cioè se e solo se $v=O$ .


Non ho capito per quale motivo sia non degenere. Un prodotto dovrebbe essere non degenere quando $ v * v = 0 $ se e solo se $v=0$. Ma non ha appena dimostrato con il vettore:

$<((1),(0),(0)),((1),(0),(0))> = 0 $

che c'è un altro vettore non nullo per cui $v*v=0$? E questo non significa che il prodotto è degenere? Inoltre, supponendo che sia non degenere, per quale motivo il prodotto non è definito positivo/negativo?