Dimostrare se una applicazione lineare è un prodotto scalare
Ciao a tutti!
Ho iniziato a studiare da poco gli spazi reali con prodotto scalare e quasi subito ho incontrato questo esercizio di cui vi riporto il testo:
Sia $ * : RR^3 -> RR^3$ definita da:
$a*b = 3a_1 b_1 + 3a_2 b_2 + a_3 b_3 - a_1 b_2 + a_2 b_1 = a^T ( ( 3 , -1 , 0 ),( 1 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) b$.
Dimostrare che non si tratta di un prodotto scalare in $RR^3$.
Se non mi sbaglio, un'applicazione lineare dovrebbe essere un prodotto scalare se è bilineare, simmetrica, semidefinita positiva e non degenere. Dunque, per l'esercizio in questione, basta dimostrare che non rispetta una di queste proprietà. Il problema è che non so affatto procedere con la dimostrazione. Non riesco a dimostrare se rispetta o meno quelle proprietà. Vi sono altri esercizi simili a questo dove invece si deve dimostrare che sono prodotti scalari. Per favore, qualcuno può darmi una mano? Sono assolutamente in alto mare. Grazie a tutti coloro che risponderanno.
Ho iniziato a studiare da poco gli spazi reali con prodotto scalare e quasi subito ho incontrato questo esercizio di cui vi riporto il testo:
Sia $ * : RR^3 -> RR^3$ definita da:
$a*b = 3a_1 b_1 + 3a_2 b_2 + a_3 b_3 - a_1 b_2 + a_2 b_1 = a^T ( ( 3 , -1 , 0 ),( 1 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) b$.
Dimostrare che non si tratta di un prodotto scalare in $RR^3$.
Se non mi sbaglio, un'applicazione lineare dovrebbe essere un prodotto scalare se è bilineare, simmetrica, semidefinita positiva e non degenere. Dunque, per l'esercizio in questione, basta dimostrare che non rispetta una di queste proprietà. Il problema è che non so affatto procedere con la dimostrazione. Non riesco a dimostrare se rispetta o meno quelle proprietà. Vi sono altri esercizi simili a questo dove invece si deve dimostrare che sono prodotti scalari. Per favore, qualcuno può darmi una mano? Sono assolutamente in alto mare. Grazie a tutti coloro che risponderanno.
Risposte
Sergio ma se volessi come faccio a trovare un qualsiasi vettore $v$ diverso dal vettore nullo per cui $ =0$ per qualsiasi vettore $w$?
Grazie Sergio! Sei stato molto più chiaro tu di qualsiasi libro di algebra che abbia letto 
Oh, beh. Volendo puoi scaricarti i suoi appunti di algebra lineare (gratuitamente ovviamente). Dovrebbe esserci il collegamento nella pagina di geometria del forum.
Si lo avevo già fatto! Comunque, grazie anche a te vict85. Sei stato molto chiaro anche tu prima, grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo