[dimKerf + dimImf] Teo. Fondamentale
Ciao!
Mi dite se la dimostrazione che ho fatto del teorema fondamentale ( dell'algebra lineare ) è corretta o se ci sono errori ?
Allego una img:
Considerata un'applicazione f: V -> W con V e W di dimensione finita, bisogna dimostrare che dim(kerf) + dim(imf) = dimV.
Se kerf=(0) o kerf=V la tesi si dimostra facilmente.
Consideriamo, per gli altri casi, che:
{u1... uq} è una base di Kerf in V con 0 < q < n
{v1... vp} è una base di Imf in W
Bisogna vedere che p + q = n con un semplice calcolo delle dimensioni.
Siccome v1... vp appartengono a Img in W esisteranno p vettori in V che non fanno parte di Kerf tali che f(wi) = vi.
Quindi basta dimostrare che in V, i q vettori di kerf e i p vettori di V formano una base, cioè {u1... uq, w1... wp} è una base di V di dimensione p + q.
Bisogna dimostrare che tali vettori sono generatori e che sono linearmente indipendenti.
Per dimostrare che sono generatori si può considerare un vettore x di V tale che f(x) appartiene all'imf=L(v1...vp).
Se f(x) appartiene all'immagine allora si potrà scrivere come combinazioni lineare dei vettori che la generano, quindi:
f(x) = a1v1+... + apvp = f(a1w1+... +apwp);
Dato che x appartiene anche a v potrà essere scritto anche come combinazioni lineare dei vettori che formano kerf, si ha quindi:
x = a1w1+... +apwp + b1u1+... +bpuq.
Il che verifica il fatto che siano generatori.
Per l'indipendenza deve essere:
a1u1+... +aquq + b1w1+... +bpwp =0.
Applicando la f ai vettori di kerf ed i restanti, si ha:
a1f(u1)+... +aqf(uq) + b1f(w1)+... +bpf(wp) =0;
Ora f(ui) = 0 e siccome f(wi) = vi e vi sono tutti vettori indipendenti perchè formano una base di W allora si conclude che sono indipendenti... anche perchè {u1... uq} formano una base di Kerf quindi devono essere indipendenti anche loro.
La relazione è verificata se e solo se tutti i coefficienti sono nulli.
Va bene come l'ho dimostrata ?
Non mi convince molto la dimostrazione dell'indipendenza e dei generatori... sul libro era sottointesa più o meno e quindi ho provato a farla da me... ma sta bene ?
Mi spiegate come posso fare a dire che x si scrive come combinazione lineare dei vettori di kerf e di wi ?
E per l'indipendenza ? sta bene dire che f(u) = 0 ???
Grazie a tutti!
Mi dite se la dimostrazione che ho fatto del teorema fondamentale ( dell'algebra lineare ) è corretta o se ci sono errori ?
Allego una img:
Considerata un'applicazione f: V -> W con V e W di dimensione finita, bisogna dimostrare che dim(kerf) + dim(imf) = dimV.
Se kerf=(0) o kerf=V la tesi si dimostra facilmente.
Consideriamo, per gli altri casi, che:
{u1... uq} è una base di Kerf in V con 0 < q < n
{v1... vp} è una base di Imf in W
Bisogna vedere che p + q = n con un semplice calcolo delle dimensioni.
Siccome v1... vp appartengono a Img in W esisteranno p vettori in V che non fanno parte di Kerf tali che f(wi) = vi.
Quindi basta dimostrare che in V, i q vettori di kerf e i p vettori di V formano una base, cioè {u1... uq, w1... wp} è una base di V di dimensione p + q.
Bisogna dimostrare che tali vettori sono generatori e che sono linearmente indipendenti.
Per dimostrare che sono generatori si può considerare un vettore x di V tale che f(x) appartiene all'imf=L(v1...vp).
Se f(x) appartiene all'immagine allora si potrà scrivere come combinazioni lineare dei vettori che la generano, quindi:
f(x) = a1v1+... + apvp = f(a1w1+... +apwp);
Dato che x appartiene anche a v potrà essere scritto anche come combinazioni lineare dei vettori che formano kerf, si ha quindi:
x = a1w1+... +apwp + b1u1+... +bpuq.
Il che verifica il fatto che siano generatori.
Per l'indipendenza deve essere:
a1u1+... +aquq + b1w1+... +bpwp =0.
Applicando la f ai vettori di kerf ed i restanti, si ha:
a1f(u1)+... +aqf(uq) + b1f(w1)+... +bpf(wp) =0;
Ora f(ui) = 0 e siccome f(wi) = vi e vi sono tutti vettori indipendenti perchè formano una base di W allora si conclude che sono indipendenti... anche perchè {u1... uq} formano una base di Kerf quindi devono essere indipendenti anche loro.
La relazione è verificata se e solo se tutti i coefficienti sono nulli.
Va bene come l'ho dimostrata ?
Non mi convince molto la dimostrazione dell'indipendenza e dei generatori... sul libro era sottointesa più o meno e quindi ho provato a farla da me... ma sta bene ?
Mi spiegate come posso fare a dire che x si scrive come combinazione lineare dei vettori di kerf e di wi ?
E per l'indipendenza ? sta bene dire che f(u) = 0 ???
Grazie a tutti!
Risposte
nessun suggerimento ?
il nostro mod. ad esempio ... ? [8D]
il nostro mod. ad esempio ... ? [8D]
Anche a me non convince; io farei cosi':
Generatori: sia v in V, allora f(v) si scrive come f di una combinazione dei w_i. Quindi v-(combinazione dei v_i) sta in Ker f e quindi e' combinazione dei u_i; e dunque v e' combinazione dei u_i e w_i.
Lineare indipendenza: applichi f alla combinazione di u_i e w_i; allora ti viene una combinazione nulla dei soli v_i: ne segue che i coefficienti dei w_i sono nulli. Allora torni indietro e trovi una combinazione nulla dei soli u_1. Ne segue che anche i coefficienti degli u_i sono tutti nulli.
Queste dimostrazioni non sono difficili, sono abbastanza ripetitive. Puo' anche darsi che l'idea corretta l'hai avuta (tra le righe mi e'parso di capire cosi'), ma devi imparare ad esprimerti meglio.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Generatori: sia v in V, allora f(v) si scrive come f di una combinazione dei w_i. Quindi v-(combinazione dei v_i) sta in Ker f e quindi e' combinazione dei u_i; e dunque v e' combinazione dei u_i e w_i.
Lineare indipendenza: applichi f alla combinazione di u_i e w_i; allora ti viene una combinazione nulla dei soli v_i: ne segue che i coefficienti dei w_i sono nulli. Allora torni indietro e trovi una combinazione nulla dei soli u_1. Ne segue che anche i coefficienti degli u_i sono tutti nulli.
Queste dimostrazioni non sono difficili, sono abbastanza ripetitive. Puo' anche darsi che l'idea corretta l'hai avuta (tra le righe mi e'parso di capire cosi'), ma devi imparare ad esprimerti meglio.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
grazie per avermi risposto!!!
se applico f, dovrebbe venire: f(ui) + f(wi) = f(ui) + vi vero ?
però perchè f(ui) = 0 e restano solo i vettori vi che sono nulli ?
f(ui) = 0 perchè ui sono i vettori del nucleo che per definizione devono essere zero ?
Grazie delle tue risposte Luca!!!
Purtroppo per me è verissimo, diversi prof. me lo hanno detto infatti, dovrei impare ad esprimermi meglio, ma è difficile, in fondo io studio ing. ed ho una mentalità un pò troppo sul pratico e meno sul teorico... però alla mia univ. si devono studiare le stesse materie della facoltà di matematica per il primo anno... e quindi mi ritrovo sempre a fare dimostrazioni pratiche... cerco di fare del mio meglio per esprimermi il più chiaramente possibile.... spero di riuscirci...
quote:
applichi f alla combinazione di u_i e w_i; allora ti viene una combinazione nulla dei soli v_i:
se applico f, dovrebbe venire: f(ui) + f(wi) = f(ui) + vi vero ?
però perchè f(ui) = 0 e restano solo i vettori vi che sono nulli ?
f(ui) = 0 perchè ui sono i vettori del nucleo che per definizione devono essere zero ?
Grazie delle tue risposte Luca!!!
quote:
Queste dimostrazioni non sono difficili, sono abbastanza ripetitive. Puo' anche darsi che l'idea corretta l'hai avuta (tra le righe mi e'parso di capire cosi'), ma devi imparare ad esprimerti meglio.
Purtroppo per me è verissimo, diversi prof. me lo hanno detto infatti, dovrei impare ad esprimermi meglio, ma è difficile, in fondo io studio ing. ed ho una mentalità un pò troppo sul pratico e meno sul teorico... però alla mia univ. si devono studiare le stesse materie della facoltà di matematica per il primo anno... e quindi mi ritrovo sempre a fare dimostrazioni pratiche... cerco di fare del mio meglio per esprimermi il più chiaramente possibile.... spero di riuscirci...
Gli f(u_i) sono 0 perche' gli u_i sono vettori del nucleo; poi sono nulli i coefficienti di v_i, non i v_i stessi, perche' i v_i formano una base.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
ok grazie!!!
Sei sempre molto disponibile Luca!!!
Sei sempre molto disponibile Luca!!!
vediamo se questa rielaborazione va meglio... :
1. Generatori:
Considero un vettore f(x) appartenente all'immagine di f.
f(x) = a_1v_1 + ... + a_pv_p
Siccome f(w_i)=v_i, posso anche scrivere:
f(x) = a_1f(w_1) + ... + a_pf(w_p)
da cui ottengo che ( siccome f è lineare )
x = a_1w1 + ... + a_pw_p
Ma se f(x) appartiene all'immagine, allora x appartiene a V, quindi x si può scrivere come combinazione lineare dei vettori del tipo w_p più quelli ceh compongono il nucleo.
Si ottiene:
x = a_1w1 + ... + a_pw_p + b_1u_1 + ... + b_qu_q
2. Indipendenza lineare:
Applicando la f, si trova che f(u_i) = 0 dato che fanno parte del nucleo, f(w_i) = v_i che sono indipendenti perchè formano una base dell'immagine, quindi i loro coefficienti sono tutti nulli.
Tornando indietro, u_i sono indipendenti anch'essi perchè formavano per costruzione una base del nucleo... quindi la tesi.
1. Generatori:
Considero un vettore f(x) appartenente all'immagine di f.
f(x) = a_1v_1 + ... + a_pv_p
Siccome f(w_i)=v_i, posso anche scrivere:
f(x) = a_1f(w_1) + ... + a_pf(w_p)
da cui ottengo che ( siccome f è lineare )
x = a_1w1 + ... + a_pw_p
Ma se f(x) appartiene all'immagine, allora x appartiene a V, quindi x si può scrivere come combinazione lineare dei vettori del tipo w_p più quelli ceh compongono il nucleo.
Si ottiene:
x = a_1w1 + ... + a_pw_p + b_1u_1 + ... + b_qu_q
2. Indipendenza lineare:
Applicando la f, si trova che f(u_i) = 0 dato che fanno parte del nucleo, f(w_i) = v_i che sono indipendenti perchè formano una base dell'immagine, quindi i loro coefficienti sono tutti nulli.
Tornando indietro, u_i sono indipendenti anch'essi perchè formavano per costruzione una base del nucleo... quindi la tesi.
E meglio che parti da x che sta in V; allora f(x) sta in Im f, e allora lo scrivi come hai fatto. Poi pero' non e' giusto quando dici "da cui ottengo che (siccome f e' lineare)": hai infatti usato l'iniettivita' di f, cosa non vera in generale. La cosa da fare e' invece scrivere f della differenza tra x e quella combinazione dei w_i, che fa zero. Dunque x-combinazione dei w_i sta nel Ker, allora lo scrivi come combinazione degli u_i, ecc...
L'indipendenza lineare va bene.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
L'indipendenza lineare va bene.
Luca Lussardi
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Allora, vediamo un pò:
x appartiene a V, quindi x si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di V del tipo w_i, cioè:
x = a_1w_1 + ... + a_pw_p ( * 1)
Applicando la f, ottengo:
f(x) = a_1f(w_1) + ... + a_pf(w_p)
sapendo che f(w_i) = v_i che stanno in W, si ha:
f(x) = a_1v1 + ... + a_pv_p
ora... la sottrazione di x e della combinazione dei w_i che dovrebbe far zero da dove la prendo ? io so solo che x si scrive come combinazione dei vettori di V, non ho altri vettori da mettere al posto di x nella relazione ( * 1 )...
me lo spieghi meglio ?
Grazie!
x appartiene a V, quindi x si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di V del tipo w_i, cioè:
x = a_1w_1 + ... + a_pw_p ( * 1)
Applicando la f, ottengo:
f(x) = a_1f(w_1) + ... + a_pf(w_p)
sapendo che f(w_i) = v_i che stanno in W, si ha:
f(x) = a_1v1 + ... + a_pv_p
ora... la sottrazione di x e della combinazione dei w_i che dovrebbe far zero da dove la prendo ? io so solo che x si scrive come combinazione dei vettori di V, non ho altri vettori da mettere al posto di x nella relazione ( * 1 )...
me lo spieghi meglio ?
Grazie!
f(x)=f(a_1w_1+...+a_pw_p) da cui f(x-a_1w_1-...-a_pw_p)=0, per cui x-a_1w_1-...-a_pw_p sta in Ker f; quindi
x-a_1w_1-...a_pw_p=b_1u_1+...+b_qu_q, da cui finalmente x=a_1w_1+...+a_pw_p+b_1u_1+...+b_qu_q.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
x-a_1w_1-...a_pw_p=b_1u_1+...+b_qu_q, da cui finalmente x=a_1w_1+...+a_pw_p+b_1u_1+...+b_qu_q.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
ahhh capito!
non riuscivo a capire il senso ultimo della cosa!
Ora mi è tutto più chiaro!
Grazie!
non riuscivo a capire il senso ultimo della cosa!
Ora mi è tutto più chiaro!
Grazie!
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