Dimensione supplementari

[Cla941]

Salve a tutti Ho dei dubbi riguardo alla risoluzione del seguente esercizio:

Sia $V$ uno spazio vettoriale, $W$ un suo sottospazio e $U1$,$U2$ due supplementari di $W$ in $V$. Dimostra che $U1$ e $U2$ hanno la stessa dimensione.

Siccome non è specificato se lo spazio $V$ è a dimensione finita o infinita ho provato a dimostrare l'enunciato in entrambi i casi. Per quanto riguarda il caso in cui $V$ ha dimensione finita non ho dubbi basta usare la formula di Grassmann mentre se $V$ ha dimensione infinita ho provato a dimostrarla così:

Sia $V$ uno spazio di dimensione infinita. Ogni elemento $u1$ in $U1$ appartiene ad $U2$ oppure appartiene a $ U2 oplus W backslash U2 cup W$, viceversa ogni elemento $u2 in U2$ appartiene ad $U1$ oppure a $ U1 oplus W backslash U1 cup W$.
Sia $B1$ una base di $U1$.
Prendiamo in considerazione la funzione $f:B1 rightarrow U2$ che ad un generico elemento $b1 in B1$ associa se stesso se $b1 in U2$ e $u2 in U2$ tale che $b1= u2+w$ se $b1 in B1 cap U2 oplus W backslash U2 cup W$ dove $w$ è un generico elemento di $W$. Sia $I$ l'immagine di $B1$ tramite $f$ data da $A cup C$ dove $A$ è il sottoinsieme di $I$ dei vettori che appartengono a $B1 cap U2$ mentre $C$ è il sottoinsieme dei vettori di $I$ per i quali esiste $b1=u2+w$. L'immagine $I$ di $B1$ tramite $f$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti perchè $A$ è un sottoinsieme libero siccome i suoi vettori sono tutti appartenenti ad una base e il sottoinsieme $C$ contiene vettori linearmente indipendenti dai vettori di $A$ perché $u2$ e tutti i suoi multipli devono appartenere ad $U1 oplus W backslash U1 cup W$ altrimenti se uno di essi appartenesse ad $U1$ (indichiamolo con $a*u2$) dalla combinazione lineare:

$b1 - frac{1}{a}*a*u2 = u2 +w- frac{1}{a}*a*u2 = w$

abbiamo che siccome $U1$ è un sottospazio vettoriale $w$ dovrebbe appartenere a $U1$ ma $w$ è un elemento di $W$ quindi dovrebbe appartenere alla loro intersezione. Quindi non esistono elementi di $U1$ multipli di $u2$ e quindi nemmeno elementi di $B1$ essendo un suo sottoinsieme. Quindi il generico $u2$ è indipendente dai vettori del sottoinsieme $A$. Inoltre gli elementi di $C$ sono anche indipendenti tra loro altrimenti esisterebbero $b1',b1'' in B1$ tali che $b1'= u2+w' $ e $b1''= a*u2+w''$ con $w',w'' in W$. Prendendo in considerazione la combinazione lineare:

$ b1'- frac{1}{a} b1''= u2+w'-frac{1}{a}*a*u2-frac{1}{a}*w''=w'-frac{1}{a}*w'' $

abbiamo che siccome $w'$ e $w''$ sono elementi di $W$ e $W$ è un sottospazio vettoriale allora $w'-frac{1}{a}*w''$ è un elemento di $W$ ed è anche un elemento di $U1$ perché dato dalla composizione lineare di due vettori di $U$, quindi appartiene alla loro intersezione e siamo giunti ad un assurdo.
Abbiamo che $U2$ è uno spazio vettoriale e $I$ è un sottoinsieme libero di $U2$ quindi per la proposizione:

'' Dato un sottoinsieme libero di uno spazio vettoriale $V$ ed una base di $V$ esiste esiste sempre un sottoinsieme della base tale per cui l'unione di questo sottoinsieme e del sottoinsieme libero è una base di $V$."

esiste una base $B2$ di $U2$ contenente $I$. Presa in considerazione la funzione $g: B1 rightarrow B2$ che associa ad un generico elemento $b1$ di $B1$ l'elemento di $B2$ associato a $b1$ tramite $f$ abbiamo trovato una funzione da una base di $U1$ ad una base di $U2$ che è iniettiva. Dunque $|B1| leq |B2|$ e con ragionamenti analoghi, considerando che due basi di uno stesso spazio vettoriale sono equipotenti troviamo una funzione $h: B2 rightarrow B1$ iniettiva e dunque
$|B2| leq |B1|$, da cui segue la tesi.

Può andare bene o c'è qualche errore? Ho fatto bene a definire prima $f$ e poi $g$ o potevo evitare lasciando il codominio come un generico sottoinsieme di $U2$ e specificandolo poi? Quando definisco una funzione il dominio e il codominio devono essere specificati prima di specificare come opera o posso sceglierli opportunamente una volta stabilito come vengono associati gli elementi?

[achille_lauro1]

Forse è sufficiente una dimostrazione essenziale:

'' Dato un sottoinsieme libero di uno spazio vettoriale V ed una base di V esiste esiste sempre un sottoinsieme della base tale per cui l'unione di questo sottoinsieme e del sottoinsieme libero è una base di V.".

Nota l' (altrove dimostrata) equipotenza per qualsiasi base di un medesimo spazio vettoriale (di dimensione finita o infinita),
per la definizione di sottospazi supplementari in uno spazio vettoriale,
la dimensione di due distinti sottospazi supplementari di un medesimo altro sottospazio è coincidente.

Si potrebbe osservare come l' unico caso di unicità del supplementare di un sottospazio è quello dello spazio vettoriale nullo, come supplementare di un qualsiasi spazio vettoriale inteso sottospazio (improprio) di se stesso.

[Cla941]

Ti ringrazio!