Dimensione nucleo maggiore di quella dell'immagine?

[lo92muse]

Salve a tutti. Mi è capitato di svolgere un'esercizio nel quale trovavo un'applicazione lineare da R^3 a R^2. La matrice associata, trovata attraverso dei conti piuttosto laboriosi, perché forniva le immagini di tre vettori e la matrice nella base canonica andava trovata mediante combinazioni lineari di questi, aveva rango 1. Quindi la dimensione dell'immagine è 1 e quella del nucleo 2. E' possibile che ciò sia esatto? Perche' non mi è mai capitato di trovare una situazione simile.
Grazie ..

[login2]

Sono alle prime armi con l'algebra lineare, premesso questo (ed eventuali colossali errori da parte mia)

Io direi di si, perchè il fatto che il nucleo abbia dimensione maggiore del sottospazio delle immagini non entra in contraddizione con il
teorema del rango nullità e con la definizione di nucleo.
D'altronde intuitivamente direi che $R^2$ non "può coprire" tutto $R^3$, ed essendo $dimImf
Insomma, che il nucelo abbia dimensione maggiore del sottospazio delle immagini (anche se inusuale) non contraddice le definizioni e i teoremi che so (salvo che me ne sia scappato qualcuno.. )

[Carlocchio]

Potresti scrivere l'applicazione lineare che hai trovato?

[lo92muse]

"carlocchio":Potresti scrivere l'applicazione lineare che hai trovato?

Ecco il problema.
$L((1),(-1),(0))=((1),(2))$ $L((0),(1),(1))=((2),(4))$ $L((1),(1),(1))=((0),(0))$.
Indicati con $v_{1},v_{2} e v_{3}$ rispettivamente il primo, secondo e terzo vettore mi sono ricavato la matrice associata nella base canonica così:

$L(e_{1})=v_{3}-v_{2}=((-2),(-4))$

$L(e_{2})=v_{1}-v_{3}+v_{2}=((-3),(-6))$

$L(e_{3})=v_{1}+2v_{2}-v_{3}=((5),(10))$

La matrice è quindi:
$A=((-2, -3, 5),(-4, -6, 10))$
Il determinante di entrambi i minori è zero, quindi ha rango 1. Da qui la considerazione di prima.
Vi sembra giusto? Grazie ..

[Carlocchio]

Niente nonostante continua a suonarmi strano, non trovo errori.. è corretto! ahahah

[lo92muse]

"carlocchio":Niente nonostante continua a suonarmi strano, non trovo errori.. è corretto! ahahah

Probabilmente era un esercizio trabocchetto.. Per vedere se eravamo capaci di tirare fuori i vettori dati quei dati.. Ripensandoci è giusto, le colonne sono linearmente dipendenti.. Le ho trovate con combinazioni lineari.. Quindi, un po' strano ma dovrebbe essere giusto..

[Carlocchio]

Penso proprio che sia cosi!